Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = {x^2} + 2{y^2} - 2xy + 2x - 6y + 2028\).
Sử dụng hằng đẳng thức bình phương của một tổng: \({a^2} + 2ab + {b^2} = {\left( {a + b} \right)^2}\) và bình phương của một hiệu: \({a^2} - 2ab + {b^2} = {\left( {a - b} \right)^2}\) để biến đổi A về dạng \(A = {B^2} + {C^2} + d\).
Khi đó giá trị nhỏ nhất của A là d (với d là hằng số).
Ta có:
\(\begin{array}{l}A = {x^2} + 2{y^2} - 2xy + 2x - 6y + 2028\\ = {x^2} - 2xy + {y^2} + {y^2} + 2x - 2y - 4y + 1 + 4 + 2023\\ = \left[ {{x^2} - 2xy + {y^2} + 2x - 2y + 1} \right] + \left( {{y^2} - 4y + 4} \right) + 2023\\ = \left[ {{{\left( {x - y} \right)}^2} + 2\left( {x - y} \right) + 1} \right] + {\left( {y - 2} \right)^2} + 2023\\ = {\left( {x - y + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + 2023\end{array}\)
Vì \({\left( {x - y + 1} \right)^2} \ge 0\) với mọi x, y và \({\left( {y - 2} \right)^2} \ge 0\) với mọi y nên \(A = {\left( {x - y + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + 2023 \ge 0 + 0 + 2023 = 2023\).
Giá trị nhỏ nhất của A là 2023 khi \(x - y + 1 = 0\) và \(y - 2 = 0\), suy ra \(y = 2\) và \(x = y - 1 = 2 - 1 = 1\).
Vậy biểu thức A có giá trị nhỏ nhất là 2023 khi \(x = 1\) và \(y = 2\).