Tính giới hạn sau: I = giới hạn n - > + vô cùng 2 + 2^2 + — Không quảng cáo

Phương pháp giải

Sử dụng kiến thức về giới hạn của của dãy số để tính: \(\lim {q^n} = 0\left( {\left| q \right| < 1} \right)\)

Mẫu thức là tổng của n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1} = 3\) và công bội \(q = 3\)

Do đó, \(3 + {3^2} + {3^3} + .. + {3^n} = \frac{{3\left( {{3^n} - 1} \right)}}{{3 - 1}} = \frac{3}{2}\left( {{3^n} - 1} \right)\)

Tử thức là tổng của n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1} = 2\) và công bội \(q = 2\)

Do đó, \(2 + {2^2} + {2^2} + ... + {2^n} = \frac{{2\left( {{2^n} - 1} \right)}}{{2 - 1}} = 2\left( {{2^n} - 1} \right)\)

Khi đó, \(I = \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( {\frac{4}{3}.\frac{{{2^n} - 1}}{{{3^n} - 1}}} \right) = \frac{4}{3}\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{{2^n} - 1}}{{{3^n} - 1}} = \frac{4}{3}\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n} - \frac{1}{{{3^n}}}}}{{1 - \frac{1}{{{3^n}}}}} = 0\)