Trong không gian Oxyz, biết \(\overrightarrow c = (x;y;z)\) vuông góc vối cả hai vecto \(\overrightarrow a = (1;3;4)\), \(\overrightarrow b = ( - 1;2;3)\).
a) \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = 15\)
b) \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 5\)
c) \({\overrightarrow b ^2} = 14\)
d) \(7x + y = 0\)
a) \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = 15\)
b) \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 5\)
c) \({\overrightarrow b ^2} = 14\)
d) \(7x + y = 0\)
Sử dụng các quy tắc cộng vecto, công thức tính tích vô hướng của hai vecto, độ dài vecto.
a) Sai . Vì \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = 1.( - 1) + 3.2 + 4.3 = 17\).
b) Sai . Vì \(\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{1^2} + {3^2} + {4^2}} = \sqrt {26} \).
c) Đúng . Vì \({\overrightarrow b ^2} = {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} = {( - 1)^2} + {2^2} + {3^3} = 14\) .
d) Đúng . Theo giả thiết ta có \(\overrightarrow c = (x;y;z) \ne \overrightarrow 0 \) và vuông góc với cả hai vecto \(\overrightarrow a = (1;3;4)\) và \(\overrightarrow b = ( - 1;2;3)\) nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow c .\overrightarrow a = 0}\\{\overrightarrow c .\overrightarrow b = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1x + 3y + 4z = 0}\\{ - 1x + 2y + 3z = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1x + 3y + 4z = 0}\\{5y + 7z = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1x + 3y + 4\frac{{ - 5}}{7}y = 0}\\{z = \frac{{ - 5}}{7}y}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{7x + y = 0}\\{5y + 7z = 0}\end{array}} \right.\)