Đề bài
Với a 3 + b 3 + c 3 = 3abc thì
-
A.
a=b=c.
-
B.
a+b+c=1.
-
C.
a=b=c hoặc a+b+c=0.
-
D.
a=b=c hoặc a+b+c=1.
Phương pháp giải
Sử dụng đẳng thức đặc biệt a3+b3+c3−3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ac);
Từ đẳng thức đã cho suy ra a3+b3+c3−3abc=0
b3+c3=(b+c)(b2+c2−bc)=(b+c)[(b+c)2−3bc]=(b+c)3−3bc(b+c)⇒a3+b3+c3−3abc=a3+(b3+c3)−3abc⇔a3+b3+c3−3abc=a3+(b3+c3)−3abc(b+c)−3abc⇔a3+(b3+c3)−3abc=(a+b+c)(a2−a(b+c)+(b+c)2)−[3bc(b+c)+3abc]⇔a3+(b3+c3)−3abc=(a+b+c)(a2−a(b+c)+(b+c)2)−3bc(a+b+c)⇔a3+(b3+c3)−3abc=(a+b+c)(a2−a(b+c)+(b+c)2−3bc)⇔a3+(b3+c3)−3abc=(a+b+c)(a2−ab−ac+b2+2bc+c2−3bc)⇔a3+(b3+c3)−3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−ac−bc)
Do đó nếu a3+(b3+c3)−3abc=0 thì a+b+c=0 hoặc a2+b2+c2−ab−ac−bc=0
Mà a2+b2+c2−ab−ac−bc=.[(a−b)2+(a−c)2+(b−c)2]
Nếu (a−b)2+(a−c)2+(b−c)2=0⇔{a−b=0b−c=0a−c=0⇒a=b=c
Vậy a3+(b3+c3)=3abc thì a=b=c hoặc a+b+c=0.
Đáp án : C