Với giá trị nào của x thì A = x^2 + 2x + 4/x^2 + 4x + 4 — Không quảng cáo

Phương pháp giải

Để tìm giá trị nhỏ nhất của phân thức \(A = \frac{{{x^2} + 2x + 4}}{{{x^2} + 4x + 4}}\) ta cần biến đổi A thành dạng \({(P(x))^2} + Q\), khi đó \(GTNN\left( A \right){\rm{ }} = {\rm{ }}Q\).

Điều kiện: \({x^2} + 4x + 4 \ne 0 \Leftrightarrow {\left( {x + 2} \right)^2} \ne 0 \Leftrightarrow x \ne  - 2\)

\(\begin{array}{l}A = \frac{{{x^2} + 2x + 4}}{{{x^2} + 4x + 4}} = \frac{{{x^2} + 4x + 4}}{{{x^2} + 4x + 4}} - \frac{{2x}}{{{x^2} + 4x + 4}} = 1 - \frac{{2x}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\\ = 1 - \frac{{2x + 4}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} + \frac{4}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = 1 - \frac{2}{{x + 2}} + {\left( {\frac{2}{{x + 2}}} \right)^2} = {\left( {\frac{2}{{x + 2}} - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4}\end{array}\)

Ta có \({\left( {\frac{2}{{x + 2}} - \frac{1}{2}} \right)^2} \ge 0\forall x \Rightarrow {\left( {\frac{2}{{x + 2}} - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} \ge \frac{3}{4}\forall x\) hay \(A \ge \frac{3}{4}\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow {\left( {\frac{2}{{x + 2}} - \frac{1}{2}} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow \frac{2}{{x + 2}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = 2\) (thỏa mãn)

Vậy \(A = \frac{{{x^2} + 2x + 4}}{{{x^2} + 4x + 4}}\) đạt giá trị nhỏ nhất là \(\frac{3}{4}\) tại \(x = 2\)