Bài 2. 29 trang 57 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức — Không quảng cáo

Toán 11, giải toán lớp 11 kết nối tri thức với cuộc sống Bài tập cuối chương 2 Toán 11 kết nối tri thức


Bài 2.29 trang 57 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Chứng minh rằng: a) Trong một cấp số cộng (left( {{u_n}} right)), mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và số hạng cuối, nếu có) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là ({u_k} = frac{{{u_{k - 1}} + {u_{k + 1}}}}{2}) với (k ge 2)

Đề bài

Chứng minh rằng:

a) Trong một cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\), mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và số hạng cuối, nếu có) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là

\({u_k} = \frac{{{u_{k - 1}} + {u_{k + 1}}}}{2}\) với \(k \ge 2\).

b) Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và số hạng cuối, nếu có) đều là tích của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là

\(u_k^2 = {u_{k - 1}}.{u_{k + 1}}\) với \(k \ge 2\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng công thức tổng quát \({u_n}\) của cấp số cộng và cấp số nhân để lần lượt chứng minh đẳng thức.

Lời giải chi tiết

a) Ta có \({u_{k - 1}} = {u_1} + \left( {k - 2} \right)d\)

\({u_k} = {u_1} + \left( {k - 1} \right)d\)

\({u_{k + 1}} = {u_1} + kd\)

Do đó:

\({u_{k - 1}} + {u_{k + 1}} = {u_1} + \left( {k - 2} \right)d + {u_1} + kd = 2{u_1} + \left( {2k - 2} \right)d\) \( = 2\left[ {{u_1} + \left( {k - 1} \right)d} \right] = 2{u_k}\)

Suy ra: \({u_k} = \frac{{{u_{k - 1}} + {u_{k + 1}}}}{2}\) (đpcm).

b) Ta có: \({u_{k - 1}} = {u_1} \times {q^{k - 2}}\)

\({u_k} = {u_1} \times {q^{k - 1}}\)

\({u_{k + 1}} = {u_1} \times {q^k}\)

Do đó:

\({u_{k - 1}} \times {u_{k + 1}} = \left( {{u_1} \times {q^{k - 2}}} \right) \times \left( {{u_1} \times {q^k}} \right) = u_k^2.{q^{2k - 2}} = {\left( {{u_1}.{q^{k - 1}}} \right)^2} = u_k^2\) (đpcm).


Cùng chủ đề:

Bài 2. 24 trang 56 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
Bài 2. 25 trang 56 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
Bài 2. 26 trang 56 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
Bài 2. 27 trang 57 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
Bài 2. 28 trang 57 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
Bài 2. 29 trang 57 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
Bài 2. 30 trang 57 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
Bài 2. 31 trang 57 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
Bài 2. 32 trang 57 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
Bài 3 trang 105 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức
Bài 3. 1 trang 61 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức