Bài tập 34 trang 124 Tài liệu dạy – học Toán 7 tập 2
Giải bài tập Cho tam giác DEF cân tại D, kẻ trung tuyến EM. Trên tia đối của tia ME lấy điểm N sao cho MN = ME.
Đề bài
Cho tam giác DEF cân tại D, kẻ trung tuyến EM. Trên tia đối của tia ME lấy điểm N sao cho
MN = ME.
a) Chứng minh DE = FN và tam giác DFN cân.
b) Trên tia đối của FD, lấy điểm A sao cho FA = FD. Chứng minh F là trọng tâm của tam giác NEA.
c) Chứng minh tam giác DNA vuông
d) Kẻ đường cao EB của tam giác AEN. Chứng minh ba điểm E, F, B thẳng hàng.
Lời giải chi tiết
a) Xét ∆DEM và ∆FNM
Ta có: DM = MF (M là trung điểm của DF)
^DME=^NMF (đối đỉnh)
EM = MN (gt)
Do đó: ∆DEM = ∆FNM (c.g.c) => DE = FN
Mà DE = DF (∆DEF cân tại D). Nên FN=DF
Do đó ∆DNF cân tại F.
b) Ta có MF=12FD (M là trung điểm của DF) và FD = FA (gt)
⇒MF=12FA⇒MFFA=12⇒AM−FAFA=12⇒AMFA−1=12⇒AMFA=32⇒AF=23AM
∆EAN có AM là đường trung tuyến (EM = MN, M∈EN)
F thuộc đoạn thẳng AM và AF=23AM
Do đó F là trọng tâm của tam giác NEA.
c) Ta có FN = FA (= DF) => ∆FAN cân tại F ⇒^FNA=^FAN
Mà ^FND=^FDN (∆DNF cân tại F). Do đó ^DNA=^FND+^FNA=^FAN+^FDN
∆DNA có ^DNA+^FAN+^FDN=180∘
Do đó ^DNA+^DNA=180∘⇒2^DNA=180∘⇒^DNA=90∘
Vậy tam giác DNA vuông tại N.
d) Xét ∆DMN và ∆EMF ta có: DM = MF
^NMD=^EMF (đối đỉnh)
MN = EM (gt)
Do đó: ∆DMN = ∆FME (c.g.c) ⇒^DNM=^MEF
Mà ^DNM và ^MEF ở vị trí so le trong. Nên DN // EF
Mặt khác DN⊥NA (∆DNA vuông tại N). Do đó EF⊥NA
Ta có: EF⊥NA và EB⊥NA (EB là đường cao của ∆AEN)
Do đó EF trùng với EB. Vậy E, F, B thẳng hàng.