Câu 6 trang 100 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao — Không quảng cáo

Đề bài

Với mỗi số nguyên dương n, đặt ${u_n} = {7.2^{2n - 2}} + {3^{2n - 1}}$   (1) .Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có u _n chia hết cho 5.

Lời giải chi tiết

+) Với $n = 1$, ta có:

${u_1} = {7.2^{2.1 - 2}} + {3^{2.1 - 1}}$$= 7 + 3 = 10\vdots$ $5$

Suy ra (1) đúng khi $n = 1$.

+) Giả sử (1) đúng khi $n = k, k \in \mathbb N^*$, tức là:

${u_k} = [{7.2^{2k - 2}} + {3^{2k - 1}}]$ $\vdots$ $5$

+) Ta sẽ chứng minh nó cũng đúng khi $n = k + 1$

Thật vậy, ta có :

$\eqalign{ & {u_{k + 1}} = {7.2^{2\left( {k + 1} \right) - 2}} + {3^{2\left( {k + 1} \right) - 1}} \cr & = {7.2^{2k}} + {3^{2k + 1}} \cr&= {7.2^{2k - 2 + 2}} + {3^{2k - 1 + 2}}\cr&= {4.7.2^{2k - 2}} + {9.3^{2k - 1}} \cr & ={4.7.2^{2k - 2}} + {4.3^{2k - 1}} + {5.3^{2k - 1}}\cr&= 4\left( {{{7.2}^{2k - 2}} + {3^{2k - 1}}} \right) + 5.{3^{2k - 1}} \cr & = 4.{u_k} + {5.3^{2k - 1}}\,\, \cr}$

Vì $u_k$ $⋮$ $5$ (theo giả thiết qui nạp), nên suy ra ${u_{k + 1}}$ chia hết cho $5$ ta được điều cần chứng minh.