Câu 6 trang 91 SGK Hình học 11 Nâng cao — Không quảng cáo

Đề bài

Cho hình chóp S.ABC. Lấy các điểm A’, B’, C’ lần lượt thuộc các tia SA, SB, SC sao cho SA = aSA’, SB = bSB’, SC = cSC’, trong đó a, b, c là các số thay đổi. Chứng minh rằng mặt phẳng (A’B’C’) đi qua trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi a + b + c = 3.

Lời giải chi tiết

Ta có: $\overrightarrow {SA}  = a\overrightarrow {SA'} ,\;\overrightarrow {SB}  = b\overrightarrow {SB'} ,\;\overrightarrow {SC}  = c\overrightarrow {SC} .$

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC thì

$\eqalign{  & \overrightarrow {SG}  = {1 \over 3}.\left( {\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SC} } \right)  \cr  & Vay\,\overrightarrow {SG}  = {a \over 3}\overrightarrow {SA'}  + {b \over 3}\overrightarrow {SB'}  + {c \over 3}\overrightarrow {SC'}  \cr}$

Mặt phẳng (A’B’C’) đi qua G khi và chỉ khi 4 điểm G, A’, B’, C’ đồng phẳng, nên theo kết quả bài tập 5 (SGK trang 91) , điều đó xảy ra nếu và chỉ nếu ${a \over 3} + {b \over 3} + {c \over 3} = 1$ , tức là: a + b + c = 3.