Câu 6 trang 34 SGK Hình học 11 Nâng cao — Không quảng cáo

Đề bài

Gọi F là phép biến hình có tính chất sau đây: Với mọi cặp điểm M, N và ảnh M’, N’ của chúng, ta luôn có $\overrightarrow {M'N'} = k\overrightarrow {MN}$ , trong đó k là một số không đổi khác 0. Hãy chứng minh rằng F là phép tịnh tiến hoặc phép vị tự

Lời giải chi tiết

Ta lấy một điểm A cố định và đặt A’ = F(A)

Theo giả thiết, với điểm M bất kì và ảnh M’ =F(M) của nó, ta có $\overrightarrow {A'M'} = k\overrightarrow {AM}$

Nếu k = 1, thì $\overrightarrow {A'M'} = \overrightarrow {AM}$, do đó $\overrightarrow {MM'} =\overrightarrow {AA'}$ ,và F là phép tịnh tiến theo vecto $\overrightarrow {AA'}$

Nếu k ≠ 1 thì có điểm O sao cho:

$\overrightarrow {OA'} = k\overrightarrow {OA}$ (với O thỏa $\overrightarrow {OA} = {1 \over {1 - k}}\overrightarrow {AA'}$ )

Khi đó ta có:

$\overrightarrow {OM'} = \overrightarrow {OA'} + \overrightarrow {A'M'} = k\overrightarrow {OA} + k\overrightarrow {AM} = k\overrightarrow {OM}$

Vậy F là phép vị tự tâm O, tỉ số k