Câu 5 trang 134 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao — Không quảng cáo

Tìm các giới hạn sau :

LG a

$\displaystyle \lim \left( {2 + {{{{\left( { - 1} \right)}^n}} \over {n + 2}}} \right)$

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp đánh giá và giới hạn kẹp:

Cho hai dãy số $\left( {{u_n}} \right),\left( {{v_n}} \right)$. Nếu $\left| {{u_n}} \right| \le {v_n}, \forall n$ mà $\lim {v_n} = 0$ thì $\lim {u_n} = 0$.

Và định nghĩa $\lim \left( {{u_n} - L} \right) = 0$ thì $\lim u_n=L$.

Lời giải chi tiết:

Đặt  $\displaystyle {u_n} = 2 + {{{{\left( { - 1} \right)}^n}} \over {n + 2}}$ $\Rightarrow {u_n} - 2 = \dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{n + 2}}$

Ta có:

$\displaystyle \eqalign{ & \left| {{u_n} - 2} \right|  = \left| {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{n + 2}}} \right|= {1 \over {n + 2}} < {1 \over n}\cr &\text{ và }\,\lim {1 \over n} = 0 \cr & \Rightarrow \lim \left( {{u_n} - 2} \right) = 0 \Rightarrow \lim {u_n} = 2 \cr}$

LG b

$\displaystyle \lim \left( {{{\sin 3n} \over {4n}} - 1} \right)$

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp đánh giá và giới hạn kẹp:

Cho hai dãy số $\left( {{u_n}} \right),\left( {{v_n}} \right)$. Nếu $\left| {{u_n}} \right| \le {v_n}, \forall n$ mà $\lim {v_n} = 0$ thì $\lim {u_n} = 0$.

Lời giải chi tiết:

Đặt  $\displaystyle {u_n} = {{\sin 3n} \over {4n}} - 1$ $\Rightarrow {u_n} + 1 = \dfrac{{\sin 3n}}{{4n}}$

Ta có:

$\displaystyle \eqalign{ & \left| {{u_n} + 1} \right| = \left| {{{\sin 3n} \over {4n}}} \right| \le {1 \over {4n}}\cr &\text{ và }\,\lim {1 \over {4n}} = 0 \cr & \Rightarrow \lim \left( {{u_n} + 1} \right) = 0 \Rightarrow \lim {u_n} = - 1 \cr}$

LG c

$\displaystyle \lim {{n - 1} \over n}$

Lời giải chi tiết:

$\displaystyle \lim {{n - 1} \over n} = \lim \left( {1 - {1 \over n}} \right)$ $\displaystyle = \lim 1 - \lim {1 \over n} = 1$

LG d

$\displaystyle \lim {{n + 2} \over {n + 1}}$

Phương pháp giải:

Chia cả tử và mẫu cho $n$ và sử dụng giới hạn $\lim \dfrac{1}{n} = 0$

Lời giải chi tiết:

$\displaystyle \lim {{n + 2} \over {n + 1}} = \lim {{n\left( {1 + {2 \over n}} \right)} \over {n\left( {1 + {1 \over n}} \right)}}$ $\displaystyle = \lim {{1 + {2 \over n}} \over {1 + {1 \over n}}} = {{\lim 1 + \lim {2 \over n}} \over {\lim 1 + \lim {1 \over n}}}$ $\displaystyle = {{1 + 0} \over {1 + 0}} = 1$

Cách khác:

$\begin{array}{l} \lim \frac{{n + 2}}{{n + 1}} = \lim \left( {\frac{{n + 1 + 1}}{{n + 1}}} \right)\\ = \lim \left( {1 + \frac{1}{{n + 1}}} \right)\\ = \lim 1 + \lim \frac{1}{{n + 1}}\\ = 1 + 0 = 1 \end{array}$