Câu 5 trang 100 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao — Không quảng cáo

Đề bài

Cho n là một số nguyên lớn hơn 1. Hãy chứng minh bất đẳng thức sau:

${1 \over {n + 1}} + {1 \over {n + 2}} + ... + {1 \over {2n}} > {{13} \over {24}}.$

Lời giải chi tiết

+) Với $n = 2$ ta có :  ${1 \over 3} + {1 \over 4} = {7 \over {12}} > {{13} \over {24}}$

Như vậy  (1) đúng khi $n = 2$

+) Giả sử (1) đúng khi $n = k, k > 2$, tức là giả sử

${1 \over {k + 1}} + {1 \over {k + 2}} + ... + {1 \over {2k}} > {{13} \over {24}}$

+) Ta sẽ chứng minh (1) cũng đúng khi $n = k + 1$, nghĩa là ta sẽ chứng minh

${1 \over {k + 2}} + {1 \over {k + 3}} + ... + {1 \over {2k + 1}} + {1 \over {2\left( {k + 1} \right)}} > {{13} \over {24}}$

Thật vậy , ta có:

$\eqalign{ & {1 \over {k + 2}} + {1 \over {k + 3}} + ... + {1 \over {2k}} + {1 \over {2k + 1}} + {1 \over {2\left( {k + 1} \right)}} \cr & = {1 \over {k + 1}} + {1 \over {k + 2}} + ... + {1 \over {2k}} + {1 \over {2k + 1}} + {1 \over {2\left( {k + 1} \right)}} - {1 \over {k + 1}} \cr & = {1 \over {k + 1}} + {1 \over {k + 2}} + ... + {1 \over {2k}} + {{2\left( {k + 1} \right) + 2k + 1 - 2\left( {2k + 1} \right)} \over {2\left( {k + 1} \right)\left( {2k + 1} \right)}} \cr & = {1 \over {k + 1}} + {1 \over {k + 2}} + ... + {1 \over {2k}} + {1 \over {2\left( {k + 1} \right)\left( {2k + 1} \right)}} \cr & > {1 \over {k + 1}} + {1 \over {k + 2}} + ... + {1 \over {2k}} > {{13} \over {24}} \cr}$

(theo giả thiết quy nạp)

Từ các chứng minh trên suy ra (1) đúng với mọi số nguyên $n > 1$.