Câu 5 trang 120 SGK Hình học 11 Nâng cao
Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA = a, OB = b, OC = c. Gọi H là hình chiếu của O trên mặt phẳng (ABC). Tính diện tích các tam giác HAB, HBC và HCA.
Đề bài
Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA = a, OB = b, OC = c. Gọi H là hình chiếu của O trên mặt phẳng (ABC). Tính diện tích các tam giác HAB, HBC và HCA.
Lời giải chi tiết
Vì OA, OB, OC đôi một vuông góc và H là hình chiếu của O trên mp(ABC) nên H là trực tâm tam giác ABC. Từ đó HC 1 ⊥ AB (C 1 là giao điểm của CH và AB), suy ra OC 1 ⊥ AB. Như vậy ^OC1H là góc giữa mp(OAB) và mp(ABC).
Ta có: SHAB=SOABcos^OC1H
Mà ^OC1H=^HOC nên SHAB=SOABcos^HOC.
Ta lại có : cos^HOC=OHOC,1OH2=1OA2+1OB2+1OC2
Từ đó : cos^HOC=ab√a2b2+b2c2+c2a2
Mặt khác SOAB=12ab
Vậy SHAB=a2b22√a2b2+b2c2+c2a2
Tương tự như trên, ta có :
SHBC=b2c22√a2b2+b2c2+c2a2SHAC=c2a22√a2b2+b2c2+c2a2