Câu 5 trang 78 SGK Hình học 11 Nâng cao — Không quảng cáo

Đề bài

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi G, G’ lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và A’B’C’. Một mặt phẳng (α) cắt các cạnh AA’, BB’, CC, GG’ lần lượt tại A ₁ , B ₁ , C ₁ và G ₁ . Chứng minh rằng:

a. GG’ song song và bằng cạnh bên của hình lăng trụ

b. G ₁ là trọng tâm của tam giác A ₁ B ₁ C ₁

c. \({G_1}G' = {1 \over 3}\left( {{A_1}A' + {B_1}B' + {C_1}C'} \right);\)

\({G_1}G = {1 \over 3}\left( {{A_1}A + {B_1}B + {C_1}C} \right)\)

Lời giải chi tiết

a. Gọi I, I’ lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, B’C’ thì rõ ràng II' song song và bằng AA’ nên tứ giác AII’A’ là hình bình hành, do đó AI song song và bằng A’I’

Ta cũng có \(AG = {2 \over 3}AI,A'G' = {2 \over 3}A'I'\), mà AI = A’I’ suy ra AG song song và bằng A’G’

Vậy tứ giác AGG’A’ là hình bình hành

Do đó, GG’ song song và bằng AA’

b. B ₁ C ₁ cắt II’ tại I ₁ thì I ₁ là trung điểm của B ₁ C ₁

Vì G ₁ thuộc A ₁ I ₁ và AA ₁ // GG ₁ // II ₁ nên \({{{G_1}{A_1}} \over {{A_1}{I_1}}} = {{GA} \over {AI}} = {2 \over 3}\)

Vậy G ₁ là trọng tâm tam giác A ₁ B ₁ C ₁

c. Xét hình bình hành AII’A’. Gọi L, L’ lần lượt là trung điểm của AG và A’G’, L ₁ là giao điểm của LL’ và A ₁ I ₁

Khi đó L ₁ là trung điểm của A ₁ G ₁

Theo định lí về đường trung bình của hình thang ta có :

\(2{G_1}G' = {L_1}L'+{I_1}I' \)\(= {1 \over 2}\left( {{A_1}A' + {G_1}G'} \right) + {I_1}I'\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2{G_1}G' = \frac{1}{2}{A_1}A' + \frac{1}{2}{G_1}G' + {I_1}I'\\ \Leftrightarrow \frac{3}{2}{G_1}G' = \frac{1}{2}{A_1}A' + {I_1}I'\\ \Leftrightarrow {G_1}G' = \frac{1}{3}{A_1}A' + \frac{2}{3}{I_1}I' \end{array}\)

Suy ra: \({G_1}G' = {1 \over 3}\left( {{A_1}A' + 2{I_1}I'} \right)\)

Mặt khác: 2I ₁ I’ = B ₁ B’ + C ₁ C’

Vậy: \({G_1}G' = {1 \over 3}\left( {{A_1}A' + {B_1}B' + {C_1}C'} \right)\)

Chứng minh tương tự ta có: \({G_1}G = {1 \over 3}\left( {{A_1}A + {B_1}B + {C_1}C} \right)\)