Câu 5 trang 34 SGK Hình học 11 Nâng cao
Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O)
Đề bài
Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O) và một điểm M thay đổi trên (O). Gọi M 1 là điểm đối xứng với M qua A, M 2 là điểm đối xứng với M 1 qua B, M 3 là điểm đối xứng với M 2 qua C
a. Chứng tỏ rằng phép biến hình F biến điểm M thành M 3 là một phép đối xứng tâm
b. Tìm quỹ tích điểm M 3
Lời giải chi tiết
a. Gọi I là trung điểm của MM 3 , ta chứng minh I là điểm cố định
Thật vậy, ta có:
\(\eqalign{ & \overrightarrow {CI} = {1 \over 2}\left( {\overrightarrow {CM} + \overrightarrow {C{M_3}} } \right) \cr & \,\,\,\,\,\,\, = {1 \over 2}\left( {\overrightarrow {CM} + \overrightarrow {{M_2}C} } \right) \cr & \,\,\,\,\,\,\, = {1 \over 2}\overrightarrow {{M_2}M} = \overrightarrow {BA} \cr} \)
Như vậy điểm I cố định, do đó phép biến hình F biến M thành M 3 là phép đối xứng qua điểm I
b. Quỹ tích điểm M 3 là đường tròn (O’), ảnh của đường tròn (O) qua phép đối xứng tâm với tâm I