Câu 4 trang 130 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao — Không quảng cáo

Cho dãy số (u _n ) với  ${u_n} = {n \over {{3^n}}}$

LG a

Chứng minh rằng ${{{u_{n + 1}}} \over {{u_n}}} \le {2 \over 3}$ với mọi n.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$\eqalign{ & {{{u_{n + 1}}} \over {{u_n}}} = {{n + 1} \over {{3^{n + 1}}}}:{n \over {{3^n}}}  = \frac{{n + 1}}{{{{3.3}^n}}}.\frac{{{3^n}}}{n}\cr &= {1 \over 3}.{{n + 1} \over n} = {1 \over 3}\left( {1 + {1 \over n}} \right) \cr &  \le {1 \over 3}(1+1)={2 \over 3},\forall n \ge 1. \cr}$

(Vì $\forall n \ge 1 \Rightarrow \dfrac{1}{n} \le 1$)

LG b

Bằng phương pháp qui nạp, chứng minh rằng $0 < {u_n} \le {\left( {{2 \over 3}} \right)^n}$ với mọi n.

Lời giải chi tiết:

Rõ ràng $u_n> 0, ∀n ≥ 1$.

Ta chứng minh  ${u_n} \le {\left( {{2 \over 3}} \right)^n}\,\,\,\,\left( 1 \right)$

+) Với $n = 1$ ta có  ${u_1} = {1 \over 3} \le {2 \over 3}$

Vậy (1) đúng với $n = 1$

+) Giả sử (1) đúng với $n = k$, tức là ta có:

${u_k} \le {\left( {{2 \over 3}} \right)^k}$

Khi đó $\frac{{{u_{k + 1}}}}{{{u_k}}} \le \frac{2}{3} \Leftrightarrow {u_{k + 1}} \le {2 \over 3}{u_k}$ (theo câu a)

$\Rightarrow {u_{k + 1}} \le {2 \over 3}.{\left( {{2 \over 3}} \right)^k} = {\left( {{2 \over 3}} \right)^{k + 1}}$

Vậy (1) đúng với $n = k + 1$ nên (1) đúng với mọi $n$.

LG c

Phương pháp giải:

Sử dụng các định lý:

+) Cho hai dãy số $\left( {{u_n}} \right),\left( {{v_n}} \right)$.

Nếu $\left| {{u_n}} \right| \le {v_n}$ với mọi n và $\lim {v_n} = 0$ thì $\lim {u_n} = 0$.

+) Nếu $\left| q \right| < 1$ thì $\lim {q^n} = 0$.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$0 < {u_n} \le {\left( {{2 \over 3}} \right)^n} \Rightarrow \left| {{u_n}} \right| \le {\left( {{2 \over 3}} \right)^n}$

Mà  $\lim {\left( {{2 \over 3}} \right)^n} = 0$ $\Rightarrow \lim \left| {{u_n}} \right| = 0 \Rightarrow \lim {u_n} = 0$