Câu 4 trang 100 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao — Không quảng cáo

Đề bài

Chứng minh rằng với mọi số nguyên $n ≥ 2$, ta luôn có đẳng thức sau :

$\left( {1 - {1 \over 4}} \right)\left( {1 - {1 \over 9}} \right)...\left( {1 - {1 \over {{n^2}}}} \right) = {{n + 1} \over {2n}}$

Lời giải chi tiết

+) Với $n = 2$ ta có $1 - {1 \over 4} = {3 \over 4}$ (đúng). Vậy (1) đúng với $n = 2$

+) Giả sử (1) đúng với $n = k$, tức là ta có

$\left( {1 - {1 \over 4}} \right)\left( {1 - {1 \over 9}} \right)...\left( {1 - {1 \over {{k^2}}}} \right) = {{k + 1} \over {2k}}$

+) Ta chứng minh (1) đúng với $n = k + 1$, tức là phải chứng minh :

$\left( {1 - {1 \over 4}} \right)\left( {1 - {1 \over 9}} \right)...\left( {1 - {1 \over {{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}} \right) = {{k + 2} \over {2\left( {k + 1} \right)}}$

Thật vậy theo giả thiết qui nạp ta có :

$\eqalign{ & \left( {1 - {1 \over 4}} \right)\left( {1 - {1 \over 9}} \right)...\left( {1 - {1 \over {{k^2}}}} \right)\left( {1 - {1 \over {{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}} \right) \cr & = {{k + 1} \over {2k}}\left( {1 - {1 \over {{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}} \right) \cr & = {{k + 1} \over {2k}}.{{{k^2} + 2k} \over {{{\left( {k + 1} \right)}^2}}} ={{k + 1} \over {2k}}.{{k.\left( {k + 2} \right)} \over {{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}= {{k + 2} \over {2\left( {k + 1} \right)}} \cr}$

Vậy (1) đúng với $n = k + 1$ do đó (1) đúng với mọi $n ≥ 2$