Câu 4 trang 120 SGK Hình học 11 Nâng cao — Không quảng cáo

Đề bài

Tam giác ABC vuông có cạnh huyền BC nằm trong mp(P), cạnh AB và AC lần lượt tạo với mp(P) các góc β và γ. Gọi α là góc tạo bởi mp(P) và mp(ABC). Chứng minh rằng \({\sin ^2}\alpha  = {\sin ^2}\beta  + {\sin ^2}\gamma \)

Lời giải chi tiết

Kẻ AH ⊥ mp(P) và AI ⊥ BC.

Khi đó HB là hình chiếu của AB trên (P) nên góc giữa AB và (P) bằng góc giữa AB và HB hay \(\beta  = \widehat {ABH}\)

HC là hình chiếu của AC trên (P) nên góc giữa AC và (P) bằng góc giữa AC và HC hay \(\gamma  = \widehat {ACH}\)

Lại có:

\(\left\{ \begin{array}{l} AI \bot BC\\ AH \bot BC\left( {AH \bot \left( P \right)} \right) \end{array} \right. \) \(\Rightarrow BC \bot \left( {AIH} \right) \Rightarrow BC \bot HI\)

Mà \(BC \bot AI\) và \(\left( {ABC} \right) \cap \left( P \right) = BC\) nên góc giữa (ABC) và (P) bằng góc giữa AI và HI hay \(\alpha  = \widehat {AIH}.\) (do \(\widehat {AIH}<90^0\)).

Vì ΔABC vuông ở A nên :

\(\eqalign{  & {1 \over {A{I^2}}} = {1 \over {A{B^2}}} + {1 \over {A{C^2}}}  \cr  &  \Rightarrow {{A{H^2}} \over {A{I^2}}} = {{A{H^2}} \over {A{B^2}}} + {{A{H^2}} \over {A{C^2}}}  \cr  & hay\,\,{\sin ^2}\alpha  = {\sin ^2}\beta  + {\sin ^2}\gamma  \cr} \)