Câu 5 trang 9 SGK Hình học 11 Nâng cao — Không quảng cáo

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , với $\alpha ,a,b$là những số cho trước, xét phép biến hình F biến mỗi điểm $M\left( {x;y} \right)$ thành điểm $M'\left( {x';y'} \right)$, trong đó

$\left\{ {\matrix{{x' = x\cos \alpha - y\sin \alpha + a} \cr {y' = x\sin \alpha + y\cos \alpha + b} \cr} } \right.$

LG a

Cho hai điểm $M\left( {{x_1};{y_1}} \right),\,N\left( {{x_2};{y_2}} \right)$ và gọi M', N' lần lượt là ảnh của M,N qua phép F. Hãy tìm tọa độ của M' và N'.

Lời giải chi tiết:

M’ có tọa độ ${(x_1'},{\rm{ }}y{_1}')$ với $\left\{ {\matrix{{x{'_1} = {x_1}\cos \alpha - {y_1}\sin \alpha + a} \cr {y{'_1} = {x_1}\sin \alpha + {y_1}\cos \alpha + b} \cr} } \right.$

N’ có tọa độ ${(x_2'},{\rm{ }}y{_2}')$ với $\left\{ {\matrix{{x{'_2} = {x_2}\cos \alpha - {y_2}\sin \alpha + a} \cr {y{'_2} = {x_2}\sin \alpha + {y_2}\cos \alpha + b} \cr} } \right.$

LG b

Tính khoảng cách d giữa M và N; khoảng cách d' giữa M' và N'

Lời giải chi tiết:

Ta có $d=MN=\sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2} + {{\left( {{y_2} - {y_1}} \right)}^2}}$

LG c

Phép F có phải là phép dời hình hay không ?

Lời giải chi tiết:

Từ câu b suy ra $MN=M'N'$ do đó $F$ là phép dời hình.

LG d

Khi $\alpha = 0$, chứng tỏ rằng F là phép tịnh tiến

Lời giải chi tiết:

Khi $\alpha=0$ thì:

$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x' = x\cos 0 - y\sin 0 + a\\ y' = x\sin 0 + y\cos 0 + b \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x' = x.1 - y.0 + a\\ y' = x.0 + y.1 + b \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x' = x + a\\ y' = y + b \end{array} \right. \end{array}$

Vậy $F$ là phép tịnh tiến vectơ $\overrightarrow u \left( {a;b} \right).$