Câu 5 trang 14 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao — Không quảng cáo

Đề bài

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng ? Khẳng định nào sai ? Giải thích vì sao?

a. Trên mỗi khoảng mà hàm số $y = \sin x$ đồng biến thì hàm số $y = \cos x$ nghịch biến.

b. Trên mỗi khoảng mà hàm số $y = \sin^2 x$ đồng biến thì hàm số $y = \cos^2 x$ nghịch biến.

Lời giải chi tiết

a. Sai vì trên khoảng $\left( { - {\pi \over 2};{\pi \over 2}} \right)$ hàm số $y = \sin x$ đồng biến nhưng hàm số $y = \cos x$ không nghịch biến.

b. Đúng do  ${\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1$

Giả sử $y = \sin^2 x$ đồng biến trên khoảng $I$, khi đó với $x_1,x_2\in I$ và $x_1<x_2$ thì  ${\sin ^2}{x_1}<  {\sin ^2}{x_2}$

$\Rightarrow 1 - {\sin ^2}{x_1} > 1 - {\sin ^2}{x_2}$

$\Rightarrow {\cos ^2}{x_1} > {\cos ^2}{x_2}$

$⇒ y = \cos^2 x$ nghịch biến trên $I$.