Câu 6 trang 9 SGK Hình học 11 Nâng cao — Không quảng cáo

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ , xét các phép biến hình sau đây:

- Phép biến hình ${F_1}$ biến mỗi điểm $M\left( {x;y} \right)$ thành điểm $M'\left( {y; - x} \right)$

- Phép biến hình ${F_2}$ biến mỗi điểm $M\left( {x;y} \right)$ thành điểm $M'\left( {2x;y} \right)$

Trong hai phép biến hình trên, phép nào là phép dời hình ?

Lời giải chi tiết

Lấy hai điểm bất kì $M = ({x_1};{\rm{ }}{y_1})$ và $N({x_2};{y_2})$ khi đó

$MN = \sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2} + {{\left( {{y_2} - {y_1}} \right)}^2}}$

Ảnh của M, N qua F ₁ lần lượt là $M' = ({y_1}; - {x_1})$ và $N' = ({y_2}; - {x_2})$

Như vậy ta có:

$M'N' = \sqrt {{{\left( {{y_2} - {y_1}} \right)}^2} + {{\left( { - {x_2} + {x_1}} \right)}^2}}$

$= \sqrt {{{\left( {{y_2} - {y_1}} \right)}^2} + {{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2}}$

Suy ra $M’N’ = MN$, vậy F ₁ là phép dời hình

Ảnh của M, N qua F ₂ lần lượt là $M'' = (2{x_1};{\rm{ }}{y_1})$ và $N'' = (2{x_2};{y_2})$

Như vậy ta có:

$\begin{array}{l} M''N'' = \sqrt {{{\left( {2{x_2} - 2{x_1}} \right)}^2} + {{\left( {{y_2} - {y_1}} \right)}^2}} \\ = \sqrt {4{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2} + {{\left( {{y_2} - {y_1}} \right)}^2}} \end{array}$

Từ đó suy ra : nếu ${x_1} \ne {x_2}$ thì $M’'N’'≠ MN$, vậy F ₂ không phải là phép dời hình