Đề thi giữa kì 2 Toán 10 Chân trời sáng tạo - Đề số 3
Phần trắc nghiệm (7 điểm) Câu 1: Cho hàm số bậc hai \(y = f(x)\) có đồ thị như hình vẽ sau:
Đề bài
Phần trắc nghiệm (7 điểm)
Câu 1: Cho hàm số bậc hai \(y = f(x)\) có đồ thị như hình vẽ sau:
Nhận định nào sau đây là đúng?
A. Bất phương trình \(f(x) > 0\) nghiệm đúng với mọi \(x > 1\).
B. Phương trình \(f(x) = 0\) có hai nghiệm là \(x = 0\) và \(x = 1\).
C. Bất phương trình \(f(x) < 0\) có tập nghiệm là \(S = (1;3)\).
D. Bất phương trình \(f(x) > 0\) có tập nghiệm là \(S = (1;3)\).
Câu 2: Tam thức bậc hai nào sau đây luôn nhận giá trị dương với mọi \(x \in \mathbb{R}\)?
A. \({x^2} - 3x + 2\).
B. \({x^2} - 4x + 3\).
C. \( - {x^2} + x - 1\).
D. \({x^2} - 3x + 3\).
Câu 3: Tập nghiệm của bất phương trình \({x^2} - 5x + 6 > 0\) là:
A. \(S = ( - \infty ;2) \cup (3; + \infty )\).
B. \(S = ( - \infty ;3)\).
C. \(S = (2;3)\).
D. \(S = (2; + \infty )\).
Câu 4: Bất phương trình nào sau đây nghiệm đúng với mọi \(x \in \left( {\frac{1}{2};1} \right)\)?
A. \(3{x^2} - 2x - 1 > 0\).
B. \({x^2} - 3x + 2 > 0\).
C. \({x^2} - x - 2 > 0\).
D. \(2{x^2} - 5x + 2 > 0\).
Câu 5: Tập nghiệm của bất phương trình \((1 - 2x)\left( {2{x^2} - 3x - 5} \right) < 0\) là:
A. \(S = \left( { - 1;\frac{1}{2}} \right)\).
B. \(S = \left( { - 1;\frac{5}{2}} \right)\).
C. \(S = \left( { - 1;\frac{1}{2}} \right) \cup \left( {\frac{5}{2}; + \infty } \right)\).
D. \(S = ( - 1; + \infty )\).
Câu 6: Tam thức bậc hai \(f(x) = - {x^2} + 5x - 6\) nhận giá trị âm với \(x\) thuộc khoảng nào dưới đây?
A. \(x \in ( - \infty ;3)\).
B. \((3; + \infty )\).
C. \(x \in (2; + \infty )\).
D. \(x \in (2;3)\).
Câu 7: Tam thức bậc hai \(f(x) = {x^2} + (1 - \sqrt 3 )x - 8 - 5\sqrt 3 \)
A. Âm với mọi \(x \in ( - 2 - \sqrt 3 ;1 + 2\sqrt 3 )\).
B. Âm với mọi \(x \in \mathbb{R}\).
C. Dương với mọi \(x \in \mathbb{R}\).
D. Âm với mọi \(x \in ( - \infty ;1)\).
Câu 8: Tam thức nào sau đây nhận giá trị âm với \(x < 2\)
A. \({x^2} - 5x + 6\).
B. \(16 - {x^2}\).
C. \({x^2} - 2x + 3\).
D. \( - {x^2} + 5x - 6\).
Câu 9: Tập nghiệm của bất phương trình \({x^2} - 4\sqrt 2 x + 8 < 0\) là:
A. \(( - \infty ;2\sqrt 2 )\).
B. \(\mathbb{R}\backslash \{ 2\sqrt 2 \} \).
C. \(\emptyset \).
D. \(\mathbb{R}\).
Câu 10: Bảng xét dấu nào sau đây là của tam thức \(f(x) = - {x^2} - x + 6\)?
Câu 11: Cho các tam thức \(f(x) = 2{x^2} - 3x + 4;g(x) = - {x^2} + 3x - 4;h(x) = 4 - 3{x^2}\); \(k(x) = 3{x^2} + x + 1\). Số tam thức đổi dấu trên \(\mathbb{R}\) là?
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
Câu 12: Cho \(f(x) = a{x^2} + bx + c(a \ne 0)\) và \(\Delta = {b^2} - 4ac\). Cho biết dấu của \(\Delta \) khi \(f(x)\) luôn cùng dấu với hệ số \(a\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\).
A. \(\Delta < 0\).
B. \(\Delta = 0\).
C. \(\Delta > 0\).
D. \(\Delta \ge 0\).
Câu 13: Tập nghiệm của phương trình \(\sqrt {5{x^2} - 6x - 4} = 2(x - 1)\) là
A. \(S = \{ - 4\} \).
B. \(S = \{ - 4;2\} \).
C. \(S = \{ 1\} \).
D. \(S = \{ 2\} \).
Câu 14: Số nghiệm của phương trình \(\sqrt {4x + 7} = 2x - 1\) là
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 0.
Câu 15: Số nghiệm của phương trình \(\sqrt {3 - x} = \sqrt {x + 2} + 1\) là
A. \(1.\)
B. 2.
C. 3.
D. 0.
Câu 16: Số nghiệm của phương trình \(\sqrt {2{x^2} + 4x + 5} = x - 2\) là
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
Câu 17: Với giá trị nào của tham số \(a\) thì phương trình \(\left( {{x^2} - 5x + 4} \right)\sqrt {x - a} = 0\) có 2 nghiệm phân biệt?
A. \(a \ge 1\).
B. \(1 \le a < 4\).
C. \(1 \le a \le 4\).
D. \(a < 4\).
Câu 18: Có ba ngôi làng \(A,B,C\) mỗi làng cách nhau \(6\;km\) (ba ngôi làng không cùng nằm trên một đường thẳng). Vào lúc 6 giờ sáng, một người chạy từ \(A\) đến \(B\) với vận tốc \(10\;km/h\) và cùng lúc đó một người đạp xe từ \(C\) đến \(B\) với vận tốc \(12\;km/h\). Thời điểm sớm nhất mà hai người cách nhau \(1\;km\) (theo đường chim bay) là
A. 6 giờ 25 phút.
B. 6 giờ 30 phút.
C. 7 giờ kém 25 phút.
D. 6 giờ 50 phút.
Câu 19: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho ba điểm \(A( - 1;2),B(2; - 2),C(3;1)\). Toạ độ của vectơ \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} \) là:
A. \(( - 4; - 1)\).
B. \((4; - 1)\).
C. \(( - 4;1)\).
D. \((4;1)\).
Câu 20: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho ba điểm \(A( - 1;2),B(0; - 2),C(3;3)\). Toạ độ của vectơ \(2\overrightarrow {AB} - 4\overrightarrow {BC} \) là:
A. \((14;12)\).
B. \(( - 10; - 28)\).
C. \(( - 14; - 12)\).
D. \((10;28)\).
Câu 21: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cặp vectơ nào sau đây có cùng phương?
A. \(\vec a = \left( { - \frac{2}{3};2} \right)\) và \(\vec b = (2; - 6)\).
B. \(\vec u = (2;1)\) và \(\vec v = (2; - 6)\).
C. \(\vec c = (\sqrt 2 ;2\sqrt 2 )\) và \(\vec d = (2;2)\).
D. \(\vec e = (1; - 1)\) và \(\vec f = (3;3)\).
Câu 22: Trong mặt phẳng toạ độ, cho đường thẳng \(\Delta :x - 2y + 3 = 0\). Vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(\Delta \)?
A. \(\vec n = (2;1)\).
B. \(\vec n = ( - 2; - 1)\).
C. \(\vec n = (1;2)\).
D. \(\vec n = (2; - 4)\).
Câu 23: Phương trình tham số của đường thẳng đi qua \(A( - 2;1)\), nhận \(\vec u = (3; - 1)\) làm vectơ chỉ phương là
A. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 2 + 3t}\\{y = 1 - t}\end{array}} \right.\).
B. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3 - 2t}\\{y = - 1 + t}\end{array}} \right.\).
C. \(3x - y + 7 = 0\).
D. \( - 2x + y + 7 = 0\).
Câu 24: Phương trình tham số của đường thẳng đi qua 2 điểm \(A(3;0)\) và \(B(0; - 5)\) là
A. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 + 3t}\\{y = - 5t}\end{array}} \right.\).
B. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 + 3t}\\{y = - 5 + 5t}\end{array}} \right.\).
C. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 + 3t}\\{y = - 5 - 5t}\end{array}} \right.\).
D. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 + 3t}\\{y = 5t}\end{array}} \right.\).
Câu 25: Đường thẳng đi qua \(A( - 1;2)\), nhận \(\vec n = (2; - 4)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là
A. \(2x - 4y + 5 = 0\).
B. \( - x + 2y + 10 = 0\).
C. \(x - 2y + 5 = 0\).
D. \(4x + 2y + 8 = 0\).
Câu 26: Trong mặt phẳng toạ độ, cho tam giác \(ABC\) có \(A(1;2),B(3;1)\) và \(C(5;4)\). Phương trình tổng quát của đường cao kẻ từ \(A\) là
A. \(3x - 2y - 5 = 0\).
B. \(3x - 2y + 5 = 0\).
C. \(5x - 6y + 7 = 0\).
D. \(2x + 3y - 8 = 0\).
Câu 27: Trong mặt phẳng toạ độ, cho đường thẳng \(d\) đi qua hai điểm \(A,B\) và đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(C\) và song song với đường thẳng \(d\).
Phương trình tổng quát của đường thẳng \(\Delta \) là
A. \(3x + 4y - 11 = 0\).
B. \(3x + 4y - 2 = 0\).
C. \(4x - 3y + 2 = 0\).
D. \(4x - 3y + 14 = 0\).
Câu 28: Fahrenheit là một thang đo nhiệt độ nhiệt động lực học, với điểm đóng băng của nước là 32 độ \(F\left( {^0F} \right)\) và điểm sôi là \({212^0}F\) (ở áp suất khí quyển tiêu chuẩn). Việc quy đổi nhiệt độ giữa đơn vị độ \(C\) và đơn vị độ \(F\) được xác định bởi hai điểm trên mặt phẳng toạ độ: Điểm đóng băng của nước là \((0;32)\) và Điểm sôi của (Kết quả làm tròn đến chữ số hàng phần trăm)
A. \(23,{56^0}C\).
B. \(122,{4^0}C\).
C. \(37,{78^0}C\).
D. \({212^0}C\).
Câu 29: Góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}:x - 5 = 0\) và \({\Delta _2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1 - 2t}\\{y = 5 - 2t}\end{array}} \right.\) là
A. \({30^0}\).
B. \({45^0}\).
C. \({60^0}\).
D. \({90^0}\).
Câu 30: Khoảng cách từ \(M(1;2)\) đến đường thẳng \(d:3x - 4y - 5 = 0\) là
A. \(\frac{{10\sqrt 5 }}{5}\).
B. \(\sqrt 5 \).
C. \( - 2\).
D. 2.
Câu 31: Khoảng cách từ \(M(4;2)\) đến đường thẳng \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 - 2t}\\{y = 1 + t}\end{array}} \right.\) là
A. 5.
B. \(\sqrt 5 \).
C. \( - 1\).
D. \(\sqrt 3 \).
Câu 32: Cho hai đường thẳng \({\Delta _1}:ax - y + 5 = 0\) và \({\Delta _2}:x + y + 1 = 0\). Có bao nhiêu giá trị của \(a\) để \({\Delta _1}\) tạo với \({\Delta _2}\) một góc \({60^\circ }\)?
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
Câu 33: Cho đường tròn \((C):{x^2} + {y^2} + 6x - 4y - 12 = 0\). Tiếp tuyến của đường tròn \((C)\) tại điểm \(M(1;5)\) có phương trình là:
A. \(4x - 3y - 19 = 0\).
B. \( - 4x - 3y + 19 = 0\).
C. \(4x + 3y + 19 = 0\).
D. \( - 4x - 3y - 19 = 0\).
Câu 34: Cho đường tròn \((C):{x^2} + {y^2} - 4x + 6y - 5 = 0\) vả đường thẳng \(\Delta :x + y + m = 0\). Giá trị của \(m\) để đường thẳng \(\Delta \) tiếp xúc với đường tròn \((C)\) là:
A. \(m = - 5\) hoặc \(m = 7\).
B. \(m = - 8\) hoặc \(m = 13\).
C. \(m = - 15\) hoặc \(m = 21\).
D. \(m = 15\) hoặc \(m = - 8\).
Câu 35: Cho đường tròn \((C)\) có phương trình \({(x - 2)^2} + {(y + 4)^2} = 9\). Tâm \(I\) và bán kính \(R\) của đường tròn \((C)\) là
A. \(I(2; - 4),R = 3\).
B. \(I(2;4),R = 3\).
C. \(I(2; - 4),R = 9\).
D. \(I(2;4),R = 9\).
Phần tự luận (3 điểm)
Bài 1. Một quả bóng được đá lên từ mặt đất, biết rằng chiều cao \(y\) (mét) của quả bóng so với mặt đất được biểu diễn bởi một hàm số bậc hai theo thời gian \(t\) (giây). Sau 3 giây kể từ lúc được đá lên, quả bóng đạt chiều cao tối đa là \(21\;m\) và bắt đầu rơi xuống. Hỏi thời điểm \(t\) lớn nhất là bao nhiêu ( \(t\) nguyên) để quả bóng vẫn đang ở độ cao trên \(10\;m\) so với mặt đất?
Bài 2. Giải phương trình sau:\(\sqrt {5x + 10} = 8 - x\)
Bài 3. Cho các vectơ \(\vec a = \frac{1}{2}\vec i - 5\vec j,\vec b = x\vec i - 4\vec j\). Tìm \(x\) để:
a) \(\vec a \bot \vec b\)
b) \(|\vec a| = |\vec b|\).
c) \(\vec a,\vec b\) cùng phương với nhau.
Bài 4. Tìm tham số \(m\) để góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 1 + mt}\\{y = 9 + t}\end{array}} \right.\), \({\Delta _2}:x + my - 4 = 0\) bằng \(60^\circ \).
-------- Hết --------
Lời giải
Phần trắc nghiệm
|
Câu 1. C |
Câu 2. D |
Câu 3. A |
Câu 4. B |
Câu 5. C |
Câu 6. B |
Câu 7. A |
|
Câu 8. D |
Câu 9. C |
Câu 10. C |
Câu 11. B |
Câu 12. A |
Câu 13. D |
Câu 14. A |
|
Câu 15. A |
Câu 16. A |
Câu 17. B |
Câu 18. B |
Câu 19. B |
Câu 20. B |
Câu 21. A |
|
Câu 22. D |
Câu 23. A |
Câu 24. D |
Câu 25. C |
Câu 26. D |
Câu 27. A |
Câu 28. C |
|
Câu 29. B |
Câu 30. D |
Câu 31. B |
Câu 32. C |
Câu 33. B |
Câu 34. A |
Câu 35. A |
Câu 1: Cho hàm số bậc hai \(y = f(x)\) có đồ thị như hình vẽ sau:
Nhận định nào sau đây là đúng?
A. Bất phương trình \(f(x) > 0\) nghiệm đúng với mọi \(x > 1\).
B. Phương trình \(f(x) = 0\) có hai nghiệm là \(x = 0\) và \(x = 1\).
C. Bất phương trình \(f(x) < 0\) có tập nghiệm là \(S = (1;3)\).
D. Bất phương trình \(f(x) > 0\) có tập nghiệm là \(S = (1;3)\).
Lời giải
Đáp án C.
Câu 2: Tam thức bậc hai nào sau đây luôn nhận giá trị dương với mọi \(x \in \mathbb{R}\)?
A. \({x^2} - 3x + 2\).
B. \({x^2} - 4x + 3\).
C. \( - {x^2} + x - 1\).
D. \({x^2} - 3x + 3\).
Lời giải
Đáp án D.
Câu 3: Tập nghiệm của bất phương trình \({x^2} - 5x + 6 > 0\) là:
A. \(S = ( - \infty ;2) \cup (3; + \infty )\).
B. \(S = ( - \infty ;3)\).
C. \(S = (2;3)\).
D. \(S = (2; + \infty )\).
Lời giải
Đáp án A.
Câu 4: Bất phương trình nào sau đây nghiệm đúng với mọi \(x \in \left( {\frac{1}{2};1} \right)\)?
A. \(3{x^2} - 2x - 1 > 0\).
B. \({x^2} - 3x + 2 > 0\).
C. \({x^2} - x - 2 > 0\).
D. \(2{x^2} - 5x + 2 > 0\).
Lời giải
Đáp án B.
Câu 5: Tập nghiệm của bất phương trình \((1 - 2x)\left( {2{x^2} - 3x - 5} \right) < 0\) là:
A. \(S = \left( { - 1;\frac{1}{2}} \right)\).
B. \(S = \left( { - 1;\frac{5}{2}} \right)\).
C. \(S = \left( { - 1;\frac{1}{2}} \right) \cup \left( {\frac{5}{2}; + \infty } \right)\).
D. \(S = ( - 1; + \infty )\).
Lời giải
Xét \(f(x) = (1 - 2x)\left( {2{x^2} - 3x - 5} \right)\)
\(f(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}1 - 2x = 0\\2{x^2} - 3x - 5 = 0\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x = \frac{1}{2}\\x = - 1 \vee x = \frac{5}{2}\end{array}\end{array}} \right.} \right.\)
Bảng xét dấu:
Ta có: \(f(x) < 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - 1;\frac{1}{2}} \right) \cup \left( {\frac{5}{2}; + \infty } \right)\).
Đáp án C.
Câu 6: Tam thức bậc hai \(f(x) = - {x^2} + 5x - 6\) nhận giá trị âm với \(x\) thuộc khoảng nào dưới đây?
A. \(x \in ( - \infty ;3)\).
B. \((3; + \infty )\).
C. \(x \in (2; + \infty )\).
D. \(x \in (2;3)\).
Lời giải
Ta có bảng xét dấu
Đáp án B.
Câu 7: Tam thức bậc hai \(f(x) = {x^2} + (1 - \sqrt 3 )x - 8 - 5\sqrt 3 \)
A. Âm với mọi \(x \in ( - 2 - \sqrt 3 ;1 + 2\sqrt 3 )\).
B. Âm với mọi \(x \in \mathbb{R}\).
C. Dương với mọi \(x \in \mathbb{R}\).
D. Âm với mọi \(x \in ( - \infty ;1)\).
Lời giải
Ta có bảng xét dấu
Đáp án A.
Câu 8: Tam thức nào sau đây nhận giá trị âm với \(x < 2\)
A. \({x^2} - 5x + 6\).
B. \(16 - {x^2}\).
C. \({x^2} - 2x + 3\).
D. \( - {x^2} + 5x - 6\).
Lời giải
Vì bảng xét dấu của \( - {x^2} + 5x - 6\) thỏa \(ycbt\)
Đáp án D.
Câu 9: Tập nghiệm của bất phương trình \({x^2} - 4\sqrt 2 x + 8 < 0\) là:
A. \(( - \infty ;2\sqrt 2 )\).
B. \(\mathbb{R}\backslash \{ 2\sqrt 2 \} \).
C. \(\emptyset \).
D. \(\mathbb{R}\).
Lời giải
Ta có: \({x^2} - 4\sqrt 2 x + 8 < 0 \Leftrightarrow {(x - 2\sqrt 2 )^2} < 0 \Leftrightarrow x \in \emptyset \).
Đáp án C.
Câu 10: Bảng xét dấu nào sau đây là của tam thức \(f(x) = - {x^2} - x + 6\)?
Lời giải
Áp dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai.
Đáp án C.
Câu 11: Cho các tam thức \(f(x) = 2{x^2} - 3x + 4;g(x) = - {x^2} + 3x - 4;h(x) = 4 - 3{x^2}\); \(k(x) = 3{x^2} + x + 1\). Số tam thức đổi dấu trên \(\mathbb{R}\) là?
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
Lời giải
Tam thức đổi dấu khi tam thức có 2 nghiệm phân biệt.
Đáp án B.
Câu 12: Cho \(f(x) = a{x^2} + bx + c(a \ne 0)\) và \(\Delta = {b^2} - 4ac\). Cho biết dấu của \(\Delta \) khi \(f(x)\) luôn cùng dấu với hệ số \(a\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\).
A. \(\Delta < 0\).
B. \(\Delta = 0\).
C. \(\Delta > 0\).
D. \(\Delta \ge 0\).
Lời giải
Áp dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai.
Đáp án A.
Câu 13: Tập nghiệm của phương trình \(\sqrt {5{x^2} - 6x - 4} = 2(x - 1)\) là
A. \(S = \{ - 4\} \).
B. \(S = \{ - 4;2\} \).
C. \(S = \{ 1\} \).
D. \(S = \{ 2\} \).
Lời giải
Đáp án D.
Câu 14: Số nghiệm của phương trình \(\sqrt {4x + 7} = 2x - 1\) là
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 0.
Lời giải
Đáp án A.
Câu 15: Số nghiệm của phương trình \(\sqrt {3 - x} = \sqrt {x + 2} + 1\) là
A. \(1.\)
B. 2.
C. 3.
D. 0.
Lời giải
Đáp án A.
Câu 16: Số nghiệm của phương trình \(\sqrt {2{x^2} + 4x + 5} = x - 2\) là
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
Lời giải
Đáp án A.
Câu 17: Với giá trị nào của tham số \(a\) thì phương trình \(\left( {{x^2} - 5x + 4} \right)\sqrt {x - a} = 0\) có 2 nghiệm phân biệt?
A. \(a \ge 1\).
B. \(1 \le a < 4\).
C. \(1 \le a \le 4\).
D. \(a < 4\).
Lời giải
Điều kiện: \(x \ge a\).
Ta có: \(\left( {{x^2} - 5x + 4} \right)\sqrt {x - a} = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} - 5x + 4 = 0}\\{x - a = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{x = 4}\\{x = a}\end{array}} \right.} \right.\).
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi \(1 \le a < 4\).
Đáp án B.
Câu 18: Có ba ngôi làng \(A,B,C\) mỗi làng cách nhau \(6\;km\) (ba ngôi làng không cùng nằm trên một đường thẳng). Vào lúc 6 giờ sáng, một người chạy từ \(A\) đến \(B\) với vận tốc \(10\;km/h\) và cùng lúc đó một người đạp xe từ \(C\) đến \(B\) với vận tốc \(12\;km/h\). Thời điểm sớm nhất mà hai người cách nhau \(1\;km\) (theo đường chim bay) là
A. 6 giờ 25 phút.
B. 6 giờ 30 phút.
C. 7 giờ kém 25 phút.
D. 6 giờ 50 phút.
Lời giải
Ta mô hình hoá bài toán bằng hình bên.
Gọi \(t\) (giờ) là thời gian hai người di chuyển, ta có \(AM = 10t,CN = 12t\).
Áp dụng định lí côsin cho tam giác \(BMN\): \(MN = \sqrt {{{(6 - 10t)}^2} + {{(6 - 12t)}^2} - 2 \cdot (6 - 10t) \cdot (6 - 12t) \cdot \cos {{60}^\circ }} = 1.\)
Bình phương và rút gọn ta được \(124{t^2} - 132t + 35 = 0\).
Giải phương trình ta được \(t = 0,5\) và \(t = \frac{{35}}{{62}}\).
Vậy thời gian sớm nhất hai người cách nhau \(1\;km\) là 6 giờ 30 phút.
Đáp án B.
Câu 19: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho ba điểm \(A( - 1;2),B(2; - 2),C(3;1)\). Toạ độ của vectơ \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} \) là:
A. \(( - 4; - 1)\).
B. \((4; - 1)\).
C. \(( - 4;1)\).
D. \((4;1)\).
Lời giải
Ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} = (4; - 1)\).
Đáp án B.
Câu 20: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho ba điểm \(A( - 1;2),B(0; - 2),C(3;3)\). Toạ độ của vectơ \(2\overrightarrow {AB} - 4\overrightarrow {BC} \) là:
A. \((14;12)\).
B. \(( - 10; - 28)\).
C. \(( - 14; - 12)\).
D. \((10;28)\).
Lời giải
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = (1; - 4) \Rightarrow 2\overrightarrow {AB} = (2; - 8)\); \(\overrightarrow {BC} = (3;5) \Rightarrow 4\overrightarrow {BC} = (12;20).\)
Suy ra \(2\overrightarrow {AB} - 4\overrightarrow {BC} = ( - 10; - 28)\).
Đáp án B.
Câu 21: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cặp vectơ nào sau đây có cùng phương?
A. \(\vec a = \left( { - \frac{2}{3};2} \right)\) và \(\vec b = (2; - 6)\).
B. \(\vec u = (2;1)\) và \(\vec v = (2; - 6)\).
C. \(\vec c = (\sqrt 2 ;2\sqrt 2 )\) và \(\vec d = (2;2)\).
D. \(\vec e = (1; - 1)\) và \(\vec f = (3;3)\).
Lời giải
Đáp án A.
Câu 22: Trong mặt phẳng toạ độ, cho đường thẳng \(\Delta :x - 2y + 3 = 0\). Vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(\Delta \)?
A. \(\vec n = (2;1)\).
B. \(\vec n = ( - 2; - 1)\).
C. \(\vec n = (1;2)\).
D. \(\vec n = (2; - 4)\).
Lời giải
Đáp án D.
Câu 23: Phương trình tham số của đường thẳng đi qua \(A( - 2;1)\), nhận \(\vec u = (3; - 1)\) làm vectơ chỉ phương là
A. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 2 + 3t}\\{y = 1 - t}\end{array}} \right.\).
B. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3 - 2t}\\{y = - 1 + t}\end{array}} \right.\).
C. \(3x - y + 7 = 0\).
D. \( - 2x + y + 7 = 0\).
Lời giải
Đáp án A.
Câu 24: Phương trình tham số của đường thẳng đi qua 2 điểm \(A(3;0)\) và \(B(0; - 5)\) là
A. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 + 3t}\\{y = - 5t}\end{array}} \right.\).
B. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 + 3t}\\{y = - 5 + 5t}\end{array}} \right.\).
C. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 + 3t}\\{y = - 5 - 5t}\end{array}} \right.\).
D. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 + 3t}\\{y = 5t}\end{array}} \right.\).
Lời giải
Ta có \(\overrightarrow {BA} = (3;5)\). Đường thẳng \(AB\) đi qua điểm \(A(3;0)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {BA} = (3;5)\) nên phương trình đường thẳng \(AB\) là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 + 3t}\\{y = 5t}\end{array}} \right.\).
Đáp án D.
Câu 25: Đường thẳng đi qua \(A( - 1;2)\), nhận \(\vec n = (2; - 4)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là
A. \(2x - 4y + 5 = 0\).
B. \( - x + 2y + 10 = 0\).
C. \(x - 2y + 5 = 0\).
D. \(4x + 2y + 8 = 0\).
Lời giải
Đáp án C.
Câu 26: Trong mặt phẳng toạ độ, cho tam giác \(ABC\) có \(A(1;2),B(3;1)\) và \(C(5;4)\). Phương trình tổng quát của đường cao kẻ từ \(A\) là
A. \(3x - 2y - 5 = 0\).
B. \(3x - 2y + 5 = 0\).
C. \(5x - 6y + 7 = 0\).
D. \(2x + 3y - 8 = 0\).
Lời giải
Kẻ \(AH \bot BC\) tại \(H\). Suy ra vectơ pháp tuyến của đường cao \(AH\) là \(\vec n = \overrightarrow {BC} = (2;3)\). Phương trình tổng quát của \(AH\) là \(2(x - 1) + 3(y - 2) = 0 \Leftrightarrow 2x + 3y - 8 = 0.\)
Đáp án D.
Câu 27: Trong mặt phẳng toạ độ, cho đường thẳng \(d\) đi qua hai điểm \(A,B\) và đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(C\) và song song với đường thẳng \(d\).
Phương trình tổng quát của đường thẳng \(\Delta \) là
A. \(3x + 4y - 11 = 0\).
B. \(3x + 4y - 2 = 0\).
C. \(4x - 3y + 2 = 0\).
D. \(4x - 3y + 14 = 0\).
Lời giải
Ta có \(A( - 2;2),B(2; - 1),C(1;2)\). Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là \(\vec u = \overrightarrow {AB} = (4; - 3)\) suy ra vectơ pháp tuyến của nó là \(\vec n = (3;4)\).
Vì \(\Delta //d\) nên vectơ chỉ phương của nó là \(\vec n = (3;4)\).
Do đó phương tình tổng quát của \(\Delta \) là \(4x - 3y + 14 = 0\).
Đáp án A.
Câu 28: Fahrenheit là một thang đo nhiệt độ nhiệt động lực học, với điểm đóng băng của nước là 32 độ \(F\left( {^0F} \right)\) và điểm sôi là \({212^0}F\) (ở áp suất khí quyển tiêu chuẩn). Việc quy đổi nhiệt độ giữa đơn vị độ \(C\) và đơn vị độ \(F\) được xác định bởi hai điểm trên mặt phẳng toạ độ: Điểm đóng băng của nước là \((0;32)\) và Điểm sôi của (Kết quả làm tròn đến chữ số hàng phần trăm)
A. \(23,{56^0}C\).
B. \(122,{4^0}C\).
C. \(37,{78^0}C\).
D. \({212^0}C\).
Lời giải
Giả sử \(x\left( {^0C} \right)\) tương ứng với \(y\left( {^0F} \right)\). Khi đó trên mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), điểm \(M(x;y)\) thuộc đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm đóng băng \((0;32)\) và điểm sôi \((100;212)\) của nước.
Vectơ chỉ phương của \(\Delta \) là \(\vec u = (100;180) = 20(5;9)\). Suy ra vectơ pháp tuyến của \(\Delta \) là \(\vec n = (9; - 5)\). Phương trình đường thẳng là: \(9x - 5y + 160 = 0\).
Đáp án C.
Câu 29: Góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}:x - 5 = 0\) và \({\Delta _2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1 - 2t}\\{y = 5 - 2t}\end{array}} \right.\) là
A. \({30^0}\).
B. \({45^0}\).
C. \({60^0}\).
D. \({90^0}\).
Lời giải
Đáp án B.
Câu 30: Khoảng cách từ \(M(1;2)\) đến đường thẳng \(d:3x - 4y - 5 = 0\) là
A. \(\frac{{10\sqrt 5 }}{5}\).
B. \(\sqrt 5 \).
C. \( - 2\).
D. 2.
Lời giải
Đáp án D.
Câu 31: Khoảng cách từ \(M(4;2)\) đến đường thẳng \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 - 2t}\\{y = 1 + t}\end{array}} \right.\) là
A. 5.
B. \(\sqrt 5 \).
C. \( - 1\).
D. \(\sqrt 3 \).
Lời giải
Đáp án B.
Câu 32: Cho hai đường thẳng \({\Delta _1}:ax - y + 5 = 0\) và \({\Delta _2}:x + y + 1 = 0\). Có bao nhiêu giá trị của \(a\) để \({\Delta _1}\) tạo với \({\Delta _2}\) một góc \({60^\circ }\)?
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
Lời giải
Ta có \({\vec n_1}(a; - 1)\) và \({\vec n_2}(1;1)\). Theo bài ra \({\Delta _1}\) tạo với \({\Delta _2}\) một góc \({60^\circ }\) nên:
\(\cos {60^\circ } = \frac{{|a - 1|}}{{\sqrt {{a^2} + {{( - 1)}^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {1^2}} }} \Leftrightarrow \frac{1}{2} = \frac{{|a - 1|}}{{\sqrt 2 \cdot \sqrt {{a^2} + 1} }} \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + 1} = \sqrt 2 |a - 1|\)
\( \Leftrightarrow {a^2} - 4a + 1 = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 2 + \sqrt 3 }\\{a = 2 - \sqrt 3 {\rm{. }}}\end{array}} \right.\) Vậy có hai giá trị của \(a\).
Đáp án C.
Câu 33: Cho đường tròn \((C):{x^2} + {y^2} + 6x - 4y - 12 = 0\). Tiếp tuyến của đường tròn \((C)\) tại điểm \(M(1;5)\) có phương trình là:
A. \(4x - 3y - 19 = 0\).
B. \( - 4x - 3y + 19 = 0\).
C. \(4x + 3y + 19 = 0\).
D. \( - 4x - 3y - 19 = 0\).
Lời giải
Đáp án B.
Câu 34: Cho đường tròn \((C):{x^2} + {y^2} - 4x + 6y - 5 = 0\) vả đường thẳng \(\Delta :x + y + m = 0\). Giá trị của \(m\) để đường thẳng \(\Delta \) tiếp xúc với đường tròn \((C)\) là:
A. \(m = - 5\) hoặc \(m = 7\).
B. \(m = - 8\) hoặc \(m = 13\).
C. \(m = - 15\) hoặc \(m = 21\).
D. \(m = 15\) hoặc \(m = - 8\).
Lời giải
Đáp án A.
Câu 35: Cho đường tròn \((C)\) có phương trình \({(x - 2)^2} + {(y + 4)^2} = 9\). Tâm \(I\) và bán kính \(R\) của đường tròn \((C)\) là
A. \(I(2; - 4),R = 3\).
B. \(I(2;4),R = 3\).
C. \(I(2; - 4),R = 9\).
D. \(I(2;4),R = 9\).
Lời giải
Đáp án A.
Phần tự luận (3 điểm)
Bài 1. Một quả bóng được đá lên từ mặt đất, biết rằng chiều cao \(y\) (mét) của quả bóng so với mặt đất được biểu diễn bởi một hàm số bậc hai theo thời gian \(t\) (giây). Sau 3 giây kể từ lúc được đá lên, quả bóng đạt chiều cao tối đa là \(21\;m\) và bắt đầu rơi xuống. Hỏi thời điểm \(t\) lớn nhất là bao nhiêu ( \(t\) nguyên) để quả bóng vẫn đang ở độ cao trên \(10\;m\) so với mặt đất?
Lời giải
Xét hàm số bậc hai \(y = a{t^2} + bt + c(a \ne 0)\).
Theo giả thiết, ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{c = 0}\\{ - \frac{b}{{2a}} = 3}\\{9a + 3b + c = 21}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{c = 0}\\{6a + b = 0}\\{9a + 3b = 21}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = - \frac{7}{3}}\\{b = 14}\\{c = 0}\end{array}} \right.} \right.} \right.\).
Vì vậy \(y = - \frac{7}{3}{t^2} + 14t\).
Ta cần xét: \(y = - \frac{7}{3}{t^2} + 14t > 10\) hay \( - \frac{7}{3}{t^2} + 14t - 10 > 0\).
Đặt \(f(t) = - \frac{7}{3}{t^2} + 14t - 10;\) cho \(f(t) = 0 \Rightarrow {t_1} = \frac{{21 - \sqrt {231} }}{7},{t_2} = \frac{{21 + \sqrt {231} }}{7}\).
Bảng xét dấu \(f(t)\)
Kết luận: \(f(t) > 0\) khi \({t_1} < t < {t_2}\) hay \(\underbrace {\frac{{21 - \sqrt {231} }}{7}}_{ \approx 0,83} < t < \underbrace {\frac{{21 + \sqrt {231} }}{7}}_{ \approx 5,17}\).
Vì \(t\) nguyên nên \(t \in [1;5]\). Do vậy giá trị \(t = 5\) thỏa mãn bài
Bài 2. Giải phương trình sau:\(\sqrt {5x + 10} = 8 - x\)
Lời giải
\(\sqrt {5x + 10} = 8 - x\).
Cách 1:
Bình phương hai vế phương trình, ta được:
\(5x + 10 = 64 - 16x + {x^2} \Leftrightarrow {x^2} - 21x + 54 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x = 3\\x = 18\end{array}\end{array}.} \right.\)
Thay \(x = 3\) vào phương trình đã cho: \(\sqrt {25} = 5\) (thỏa mãn).
Thay \(x = 18\) vào phương trình đã cho: \(\sqrt {100} = - 10\) (không thỏa mãn). Vậy tập nghiệm phương trình: \(S = \{ 3\} \).
Cách 2:
Ta có: \(\sqrt {5x + 10} = 8 - x \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{8 - x \ge 0}\\{5x + 10 = 64 - 16x + {x^2}}\end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x \le 8\\{x^2} - 21x + 54 = 0\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x \le 8\\x = 3 \vee x = 18\end{array}\end{array} \Leftrightarrow x = 3} \right.} \right.\)
Vậy tập nghiệm phương trình: \(S = \{ 3\} \).
Bài 3. Cho các vectơ \(\vec a = \frac{1}{2}\vec i - 5\vec j,\vec b = x\vec i - 4\vec j\). Tìm \(x\) để:
a) \(\vec a \bot \vec b\)
b) \(|\vec a| = |\vec b|\).
c) \(\vec a,\vec b\) cùng phương với nhau.
Lời giải
a) Ta có: \(\vec a = \left( {\frac{1}{2}; - 5} \right),\vec b = (x; - 4);\vec a \bot \vec b \Leftrightarrow \frac{1}{2}x + ( - 5)( - 4) = 0 \Leftrightarrow x = - 40\).
b) Ta có: \(|\vec a| = |\vec b| \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} + {{( - 5)}^2}} = \sqrt {{x^2} + {{( - 4)}^2}} \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 16} = \frac{{\sqrt {101} }}{2}\) \( \Leftrightarrow {x^2} + 16 = \frac{{101}}{4} \Leftrightarrow x = \pm \frac{{\sqrt {37} }}{2}\).
c) Ta có: \(\vec a,\vec b\) cùng phương khi và chỉ khi \(\frac{x}{{\frac{1}{2}}} = \frac{{ - 4}}{{ - 5}} \Leftrightarrow x = \frac{2}{5}\).
Bài 4. Tìm tham số \(m\) để góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 1 + mt}\\{y = 9 + t}\end{array}} \right.\), \({\Delta _2}:x + my - 4 = 0\) bằng \(60^\circ \).
Lời giải
Hai đường thẳng đã cho có cặp vectơ pháp tuyến \({\vec n_1} = (1; - m),{\vec n_2} = (1;m)\).
Ta có: \(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {{{\vec n}_1} \cdot {{\vec n}_2}} \right|}}{{\left| {{{\vec n}_1}} \right| \cdot \left| {{{\vec n}_2}} \right|}} = \frac{{\left| {1 - {m^2}} \right|}}{{\sqrt {1 + {m^2}} \cdot \sqrt {1 + {m^2}} }} = \cos 60^\circ \Rightarrow \frac{{\left| {1 - {m^2}} \right|}}{{1 + {m^2}}} = \frac{1}{2}\)
\( \Rightarrow 2\left| {1 - {m^2}} \right| = 1 + {m^2} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{2(1 - {m^2}) = 1 + {m^2}}\\{2(1 - {m^2}) = - 1 - {m^2}}\end{array} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{3{m^2} = 1}\\{{m^2} = 3}\end{array} \Rightarrow m = \pm \sqrt 3 \vee m = \pm \sqrt {\frac{1}{3}} } \right.} \right.{\rm{. }}\)
Vậy \(m = \pm \sqrt 3 \vee m = \pm \sqrt {\frac{1}{3}} \) thỏa mãn đề bài.