Giải bài 1 trang 158 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Một trang báo điện tử thống kê thời gian người sử dụng đọc thông tin trên trang trong mỗi lần truy cập ở bảng sau: Hãy ước lượng các tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
Đề bài
Một trang báo điện tử thống kê thời gian người sử dụng đọc thông tin trên trang trong mỗi lần truy cập ở bảng sau:
Hãy ước lượng các tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+ Sử dụng kiến thức xác định trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm để tính:
Gọi n là cỡ mẫu.
Giả sử nhóm \(\left[ {{u_m};{u_{m + 1}}} \right)\) chứa trung vị, \({n_m}\) là tần số của nhóm chứa trung vị,
\(C = {n_1} + {n_2} + ... + {n_{m - 1}}\).
Khi đó, trung vị của mẫu số liệu là: \({M_e} = {u_m} + \frac{{\frac{n}{2} - C}}{{{n_m}}}.\left( {{u_{m + 1}} - {u_m}} \right)\).
+ Sử dụng kiến thức về xác định tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm để tính:
Tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu \({Q_2}\), cũng chính là trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm.
Để tìm tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu \({Q_1}\), ta làm như sau:
Giả sử nhóm \(\left[ {{u_m};{u_{m + 1}}} \right)\) chứa tứ phân vị thứ nhất, \({n_m}\) là tần số của nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất, \(C = {n_1} + {n_2} + ... + {n_{m - 1}}\).
Khi đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là: \({Q_1} = {u_m} + \frac{{\frac{n}{4} - C}}{{{n_m}}}.\left( {{u_{m + 1}} - {u_m}} \right)\)
Để tìm tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu \({Q_3}\), ta làm như sau:
Giả sử nhóm \(\left[ {{u_j};{u_{j + 1}}} \right)\) chứa tứ phân vị thứ ba, \({n_j}\) là tần số của nhóm chứa tứ phân vị thứ ba, \(C = {n_1} + {n_2} + ... + {n_{j - 1}}\)
Khi đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là: \({Q_3} = {u_j} + \frac{{\frac{{3n}}{4} - C}}{{{n_j}}}.\left( {{u_{j + 1}} - {u_j}} \right)\)
Lời giải chi tiết
Cỡ mẫu \(n = 125\)
Gọi \({x_1},{x_2},...,{x_{125}}\) là mẫu số liệu được xếp theo thứ tự không giảm.
Ta có: \({x_1},...,{x_{45}} \in \left[ {0;2} \right),{x_{46}},...,{x_{79}} \in \left[ {2;4} \right),{x_{80}},...,{x_{102}} \in \left[ {4,6} \right),{x_{103}},...,{x_{120}} \in \left[ {6;8} \right),\)
\({x_{121}},...,{x_{125}} \in \left[ {8;10} \right)\)
Do cỡ mẫu \(n = 125\) nên tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu là \({x_{63}}\). Do đó tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu thuộc nhóm \(\left[ {2;4} \right)\).
Tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_2} = 2 + \frac{{\frac{{125}}{2} - 45}}{{34}}.\left( {4 - 2} \right) = \frac{{103}}{{34}}\)
Do cỡ mẫu \(n = 125\) nên tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là \(\frac{1}{2}\left( {{x_{31}} + {x_{32}}} \right)\). Do đó tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu thuộc nhóm \(\left[ {0;2} \right)\).
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_1} = 0 + \frac{{\frac{{125}}{4} - \left( {0 + 0} \right)}}{{45}}.\left( {2 - 0} \right) = \frac{{25}}{{18}}\)
Do cỡ mẫu \(n = 125\) nên tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là \(\frac{1}{2}\left( {{x_{94}} + {x_{95}}} \right)\). Do đó tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu thuộc nhóm \(\left[ {4;6} \right)\).
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:
\({Q_3} = 4 + \frac{{\frac{{3.125}}{4} - \left( {34 + 45} \right)}}{{23}}.\left( {6 - 4} \right) = \frac{{243}}{{46}}\)