Giải bài 13 trang 82 sách bài tập toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống — Không quảng cáo

Đề bài

Cho tam giác ABC có $AB = 3cm,AC = 4cm,BC = 5cm.$ Lấy điểm D trên cạnh BC sao cho $BD = 2cm.$ Lấy các điểm E, F trên các cạnh AB, AC sao cho DE, DF lần lượt vuông góc với AB, AC.

a) Chứng minh rằng $\Delta BDE\backsim \Delta DCF$

b) Tính độ dài đoạn thẳng AD.

Lời giải chi tiết

a) Tam giác ABC có: $A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\left( {do\;{3^2} + {4^2} = {5^2}} \right)$ nên tam giác ABC vuông tại A (định lí Pythagore đảo). Do đó, $\widehat {BAC} = {90^0}$

Vì DE, DF lần lượt vuông góc với AB, AC nên$DE \bot AB,DF \bot AC$

Do đó, $\widehat {DFC} = \widehat {DFA} = \widehat {DEA} = \widehat {DEB} = {90^0}$

Tứ giác AEDF có: $\widehat {DFA} = \widehat {DEA} = \widehat {FAE} = {90^0}$ nên tứ giác AEDF là hình chữ nhật. Do đó, $\widehat {FDE} = {90^0}$

Mà $\widehat {CDF} + \widehat {FDE} + \widehat {EDB} = {180^0}$ nên $\widehat {CDF} + \widehat {EDB} = {90^0}$

Tam giác BDE và tam giác DCF có:

$\widehat {DEB} = \widehat {DFC} = {90^0},\widehat B = \widehat {FDC}\left( { = {{90}^0} - \widehat {EDB}} \right)$

Do đó, $\Delta BDE\backsim \Delta DCF\left( g-g \right)$

b) Tam giác ABC có: DE//AC (cùng vuông góc với AB) nên  $\Delta BDE\backsim \Delta BCA$, do đó $\frac{{BD}}{{BC}} = \frac{{ED}}{{AC}} = \frac{{EB}}{{AB}}$. Suy ra: $\frac{{DE}}{4} = \frac{{EB}}{3} = \frac{2}{5}$

Do đó: $DE = \frac{8}{5}cm,EB = \frac{6}{5}cm \Rightarrow EA = \frac{9}{5}cm$

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác AED vuông tại E có: $A{D^2} = A{E^2} + E{D^2} = {\left( {\frac{9}{5}} \right)^2} + {\left( {\frac{8}{5}} \right)^2} = \frac{{29}}{5}$ nên $AD = \sqrt {\frac{{29}}{5}} cm$