Giải bài 2. 38 trang 41 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống — Không quảng cáo

Đề bài

Tổng $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + ... + \frac{1}{{{2^n}}}$bằng

A. $2 + \frac{1}{{{2^n}}}$

B. $2 - \frac{1}{{{2^{n - 1}}}}$

C. $2 - \frac{1}{{{2^{n + 1}}}}$

D. $2 - \frac{1}{{{2^n}}}$.

Lời giải chi tiết

Đáp án D.

Dãy số $1;\frac{1}{2};\frac{1}{{{2^2}}};...;\frac{1}{{{2^n}}}$là cấp số nhân với ${u_1} = 1;\,\,q = \frac{1}{2}$. Cấp số nhân này có n+1 số hạng. Nên:

${S_{n + 1}} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^{n + 1}}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{1\left( {1 - \frac{1}{{{2^{n + 1}}}}} \right)}}{{1 - \frac{1}{2}}} = 2\left( {1 - \frac{1}{{{2^{n + 1}}}}} \right) = 2 - \frac{1}{{{2^n}}}$.