Giải bài 2. 44 trang 42 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống — Không quảng cáo

Đề bài

Chứng minh rằng:

a) Nếu ${a_1},{a_2},{a_3}...$và ${b_1},{b_2},{b_3}...$ là hai cấp số cộng thì ${a_1} + {b_1},{a_2} + {b_2},{a_3} + {b_3}...$ cũng là cấp số cộng.

b) Nếu ${a_1},{a_2},{a_3}...$và ${b_1},{b_2},{b_3}...$ là hai cấp số cộng thì ${a_1}{b_1},\,\,{a_2}{b_2},\,\,{a_3}{b_3}...$ cũng là cấp số nhân.

Lời giải chi tiết

a) Dãy số ${a_n}$là cấp số cộng với công sai ${d_1}$ suy ra${a_{n + 1}} - {a_n} = {d_1}$.

Dãy số ${b_n}$là cấp số cộng với công sai ${d_2}$ suy ra${b_{n + 1}} - {b_n} = {d_2}$.

Nên $({a_{n + 1}} + {b_{n + 1}}) - ({a_n} + {b_n}) = {d_1} + {d_2}$. Vậy đó là cấp số cộng với công sai ${d_1} + {d_2}$.

b) Dãy số ${a_n}$là cấp số nhân với công bội ${q_1}$ suy ra$\frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}} = {q_1}$.

Dãy số ${b_n}$là cấp số nhân với công bội ${q_2}$ suy ra $\frac{{{b_{n + 1}}}}{{{b_n}}} = {q_2}$.

Vậy nên $\frac{{{a_{n + 1}}.{b_{n + 1}}}}{{{a_n}.{b_n}}} = \frac{{{q_1}}}{{{q_2}}}$. Vậy đó là cấp số nhân với công bội $\frac{{{q_1}}}{{{q_2}}}$.