Giải bài 3. 14 trang 34 sách bài tập toán 9 - Kết nối tri thức tập 1 — Không quảng cáo

Đề bài

Cho a, b là hai số dương khác nhau thỏa mãn điều kiện $a - b = \sqrt {1 - {b^2}}  - \sqrt {1 - {a^2}}$. Chứng minh rằng ${a^2} + {b^2} = 1$.

Lời giải chi tiết

Điều kiện: $0 < a,b \le 1,a \ne b$

Ta có:

$a - b = \sqrt {1 - {b^2}}  - \sqrt {1 - {a^2}}$

$a + \sqrt {1 - {a^2}}  = \sqrt {1 - {b^2}}  + b$

${\left( {a + \sqrt {1 - {a^2}} } \right)^2} = {\left( {\sqrt {1 - {b^2}}  + b} \right)^2}$

${a^2} + 2a\sqrt {1 - {a^2}}  + 1 - {a^2} = {b^2} + 2b\sqrt {1 - {b^2}}  + 1 - {b^2}$

$a\sqrt {1 - {a^2}}  = b\sqrt {1 - {b^2}}$

${\left( {a\sqrt {1 - {a^2}} } \right)^2} = {\left( {b\sqrt {1 - {b^2}} } \right)^2}$

${a^2} - {a^4} = {b^2} - {b^4}$

${a^4} - {b^4} + {b^2} - {a^2} = 0$

$\left( {{a^2} - {b^2}} \right)\left( {{a^2} + {b^2}} \right) - \left( {{a^2} - {b^2}} \right) = 0$

$\left( {{a^2} - {b^2}} \right)\left( {{a^2} + {b^2} - 1} \right) = 0$

${a^2} + {b^2} - 1 = 0$ (do $a \ne b$ nên ${a^2} - {b^2} \ne 0$) hay ${a^2} + {b^2} = 1$.