Giải bài 3.26 trang 61 Chuyên đề học tập Toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Một tàu vũ trụ nằm trong một quỹđạo tròn và ở độ cao 148 km so với bề mặt Trái Đât (H.3.27).
Đề bài
Một tàu vũ trụ nằm trong một quỹđạo tròn và ở độ cao 148 km so với bề mặt Trái Đât (H.3.27). Sau khi đạt được vận tốc cần thiết để thoát khỏi lực hấp dẫn của Trái Đất, tàu vũ trụ sẽ đi theo quỹ đạo parabol với tâm Trái Đất là tiêu điểm; điểm khởi đầu của quỹ đạo này là đỉnh parabol quỹ đạo.
a) Viết phương trình chính tắc của parabol quỹ đạo (1 đơn vị đo trên mặt phẳng toạ độ ứng với 1 km trên thực tế, lấy bán kính Trái Đất là 6 371 km).
b) Giải thích vì sao, kể từ khi đi vào quỹ đạo parabol, càng ngày, tàu vũ trụ càng cách xa Trái Đất.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Bước 1: Gọi (E) và (E’) là 2 elip có cùng tâm sai.
Bước 2: Lấy M bất kì thuộc (E), chỉ ra tồn tại M’ thuộc (E’) thỏa mãn:
\(\overrightarrow {OM'} = \frac{1}{k}\overrightarrow {OM} \)
b) Với \(M({x_0};{y_0})\) bất kì thuộc (E), ta có:
\(M{F_1}\) nhỏ nhất bằng \(a - c = {88.10^6}\)
\(M{F_1}\) lớn nhất bằng \(a + c\)
Lời giải chi tiết
a) Gọi phương trình chính tắc của quỹ đạo parabol là \({y^2} = 2px\)
Ta có: OF = 148 + 6371 = 6519 (km)
Tâm Trái Đất là tiêu điểm nên \(\frac{p}{2} = 6519 \Leftrightarrow p = 13038\)
\( \Rightarrow \) PTCT của quỹ đạo parabol là \({y^2}\; = 26076x.\)
b) Gọi vị trí của tàu vụ trụ là M(x; y).
Khoảng cách từ tàu đến tâm Trái Đất là \(MF = x + \frac{p}{2}\)
Kể từ khi đi vào quỹ đạo parabol, hoành độ x của tàu vũ trụ sẽ ngày càng tăng, do đó tàu ngày càng xa Trái Đất.