Giải bài 3. 24 trang 61 Chuyên đề học tập Toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống — Không quảng cáo

Đề bài

Cho hai parabol có phương trình ${y^2} = 2px$ và $y = a{x^2} + bx + c\;(a \ne 0)$. Chứng minh rằng nếu hai parabol đó cắt nhau tại bốn điểm phân biệt thì bốn điểm đó cùng nằm trên đường tròn (C): ${x^2} + {y^2} + \left( {\frac{b}{a} - 2p} \right)x - \frac{1}{a}y + \frac{c}{a} = 0$

Lời giải chi tiết

Nếu hai parabol cắt nhau tại bốn điểm phân biệt thì tọa độ của bốn điểm đó thỏa mãn:

$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{y^2} = 2px\\y = a{x^2} + bx + c\;(a \ne 0)\;\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y^2} = 2px\\\frac{1}{a}y = {x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}\;\end{array} \right.\\ \Rightarrow \frac{1}{a}y + {y^2} = {x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}\; - 2px\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + \left( {\frac{b}{a} - 2p} \right)x - \frac{1}{a}y + \frac{c}{a} = 0\;(dpcm)\end{array}$