Giải bài 4.19 trang 54 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Cho tam giác ABC
Đề bài
Cho tam giác ABC.
a) Tìm điểm M sao cho →MA+→MB+2→MC=→0
b) Xác định điểm N thỏa mãn 4→NA−2→NB+→NC=→0
Lời giải chi tiết
a) Giả sử tìm được điểm M sao cho →MA+→MB+2→MC=→0
Gọi I là trung điểm của AB và J là trung điểm của cạnh CI.
Ta có: →MA+→MB+2→MC=→MI+→IA+→MI+→IB+2→MC=2→MI+2→MC=4→MJ
Mặt khác →MA+→MB+2→MC=→0
⇒ 4→MJ=→0⇒→MJ=→0⇒M≡J
Vậy M là trung điểm của CI.
b) Giả sử tìm được điểm N thỏa mãn 4→NA−2→NB+→NC=→0
Gọi K là trung điểm của AC.
Ta có: 4→NA−2→NB+→NC=2(→NA−→NB)+(→NA+→NC)+→NA
=2→BA+(→NK+→KB+→NK+→KC)+→NA=2→BA+2→NK+→NA
Gọi M là điểm thỏa mãn 2→MK+→MA=0
Khi đó: 2→NK+→NA=2(→NM+→MK)+→NM+→MA=3→NM
Do đó 4→NA−2→NB+→NC=2→BA+3→NM
Mặt khác 4→NA−2→NB+→NC=→0
⇒ 2→BA+3→NM=→0 ⇔ →NM=23→AB (1)
Lấy điểm P thuộc cạnh AB sao cho →AP=23→AB (2)
Từ (1) và (2) ⇒ →NM=→AP
⇒ tứ giác APMN là hình bình hành
Vậy điểm N cần tìm là đỉnh thứ tư của hình bình hành APMN.