Giải bài 4.15 trang 54 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O.
Đề bài
Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O.
a) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng →AH=2→OM.
b) Chứng minh rằng →OA+→OB+→OC=→OH.
c) Chứng minh rằng ba điểm G,H,O cùng thuộc một đường thẳng.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Chứng minh tứ giác ABHC là hình bình hành
- Chứng minh MO là đường trung bình của ΔAA′H
- Chứng minh →OB+→OC=2→OM từ đó rút ra kết luận →OA+→OB+→OC=→OH.
- Chứng minh →OA+→OB+→OC=3→OG.
- Chứng minh →OH và →OG cùng phương
Lời giải chi tiết
a) Xét (O) có: ^ABA′=^ACA′=90∘ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
⇒A′C⊥AC và A′B⊥AB (1)
Ta có: H là trực tâm của tam giác ABC.
⇒BH⊥AC và CH⊥AB (2)
Từ (1) và (2) ⇒ BH//A′C và A′B//CH.
Xét tứ giác ABHC có: BH//A′C và A′B//CH
⇒ tứ giác ABHC là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)
⇒→BH=→A′C
Ta có: tứ giác ABHC là hình bình hành
nên M là trung điểm của A′H
Xét ΔAA′H có: M là trung điểm của A′H
O là trung điểm của AA′
⇒ MO là đường trung bình của ΔAA′H
⇒ MO//AH và 2MO=AH
⇒ hai vectơ →MO,→AH cùng hướng và 2→OM=→AH.
b) Ta có:
→OB+→OC=(→OM+→MB)+(→OM+→MC)=2→OM+(→MB+→MC)=2→OM
Ta có: →OA+→OB+→OC=→OA+2→OM=→OA+→AH=→OH (3)
c) Ta có: G là trọng tâm của ΔABC
nên →OA+→OB+→OC=3→OG. (4)
Từ (3) và (4) ⇒→OH=3→OG
⇒→OH và →OG cùng phương
hay ba điểm G,H,O cùng thuộc một đường thẳng.