Giải bài 6 trang 29 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều — Không quảng cáo

Đề bài

Chứng minh ${n^n} > {(n + 1)^{n - 1}}$ với mọi $n \in \mathbb{N}*,n \ge 2.$

Lời giải chi tiết

Bước 1: Khi $n = 2$ ta có ${2^2} > {(2 + 1)^{2 - 1}}$ hay $4 > 3$hiển nhiên đúng

Như vậy bất đẳng thức đúng với $n = 2$

Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý mà bất đẳng thức đúng, ta phải chứng minh bất đẳng thức đúng với k+1, tức là:

${(k + 1)^{k + 1}} > {(k + 1 + 1)^{k + 1 - 1}}$ hay ${(k + 1)^{k + 1}} > {(k + 2)^k}$

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:

${k^k} > {(k + 1)^{k - 1}}$

Suy ra

${k^k}{(k + 1)^{k + 1}} > {(k + 1)^{k - 1}}{(k + 1)^{k + 1}} = {(k + 1)^{k - 1 + k + 1}} = {(k + 1)^{2k}}$

Mà ${(k + 1)^{2k}} = {\left[ {{{(k + 1)}^2}} \right]^k} = {\left( {{k^2} + 2k + 1} \right)^k} > {\left( {{k^2} + 2k} \right)^k}$

$\Rightarrow {k^k}{(k + 1)^{k + 1}} > {\left( {{k^2} + 2k} \right)^k} = {\left[ {k.(k + 2)} \right]^k} = {k^k}.{(k + 2)^k}$

$\Rightarrow {(k + 1)^{k + 1}} > {(k + 2)^k}$

Vậy bất đẳng thức đúng với k+1. Do đó, theo nguyên lí quy nạp toán học, bất đẳng thức đúng với mọi $n \in \mathbb{N}*$.