Giải bài 6 trang 37 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều — Không quảng cáo

Đề bài

Xét khai triển ${\left( {\frac{x}{2} + \frac{1}{5}} \right)^{21}}$

a) Xác định hệ số của ${x^{10}}$

b) Nêu số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức trên, từ đó nêu hệ số ${a_k}$ của ${x^k}$ với $0 \le k \le 21$

Lời giải chi tiết

a) Theo công thức nhị thức Newton, ta có:

${\left( {\frac{x}{2} + \frac{1}{5}} \right)^{21}} = C_{21}^0{\left( {\frac{x}{2}} \right)^{12}} + C_{21}^1{\left( {\frac{x}{2}} \right)^{20}}{\left( {\frac{1}{5}} \right)^1} + ... + C_{21}^k{\left( {\frac{x}{2}} \right)^{21 - k}}{\left( {\frac{1}{5}} \right)^k} + ... + C_{21}^{21}{\left( {\frac{1}{5}} \right)^{21}}$

Số hạng chứa ${x^{10}}$ ứng với $21 - k = 10 \Rightarrow k = 11$. Do đó hệ số của ${x^{10}}$  là

$C_{21}^{11}{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{10}}{\left( {\frac{1}{5}} \right)^{11}}$

b) Số hạng chứa ${x^k}$ trong khai triển của ${\left( {\frac{x}{2} + \frac{1}{5}} \right)^{21}}$ là $C_{21}^{21 - k}{\left( {\frac{x}{2}} \right)^k}{\left( {\frac{1}{5}} \right)^{21 - k}}$

Như vậy, hệ số ${a_k}$ của ${x^k}$ với $0 \le k \le 21$ là $C_{21}^{21 - k}{\left( {\frac{1}{2}} \right)^k}{\left( {\frac{1}{5}} \right)^{21 - k}}$