Giải bài 7 trang 29 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều — Không quảng cáo

Đề bài

Chứng minh ${a^n} - {b^n} = (a - b)({a^{n - 1}} + {a^{n - 2}}b + ... + a{b^{n - 2}} + {b^{n - 1}})$ với mọi $n \in \mathbb{N}*$

Lời giải chi tiết

Bước 1: Khi $n = 1$ ta có ${a^1} - {b^1} = a - b$ hiển nhiên đúng

Như vậy đẳng thức đúng với $n = 1$

Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý mà đẳng thức đúng, ta phải chứng minh đẳng thức đúng với k+1, tức là:

${a^{k + 1}} - {b^{k + 1}} = (a - b)({a^{k + 1 - 1}} + {a^{k + 1 - 2}}b + ... + a{b^{k + 1 - 2}} + {b^{k + 1 - 1}})$ hay ${a^{k + 1}} - {b^{k + 1}} = (a - b)({a^k} + {a^{k - 1}}b + ... + a{b^{k - 1}} + {b^k})$

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:

${a^k} - {b^k} = (a - b)({a^{k - 1}} + {a^{k - 2}}b + ... + a{b^{k - 2}} + {b^{k - 1}})$

Suy ra

$\begin{array}{l}{a^{k + 1}} - {b^{k + 1}} = a.{a^k} - b.{b^k} = a\left( {{a^k} - {b^k}} \right) + a{b^k} - b.{b^k} = a\left( {{a^k} - {b^k}} \right) + \left( {a - b} \right).{b^k}\\ = a.(a - b)({a^{k - 1}} + {a^{k - 2}}b + ... + a{b^{k - 2}} + {b^{k - 1}}) + \left( {a - b} \right).{b^k}\\ = (a - b)\left[ {a({a^{k - 1}} + {a^{k - 2}}b + ... + a{b^{k - 2}} + {b^{k - 1}}) + {b^k}} \right]\\ = (a - b)({a^k} + {a^{k - 1}}b + ... + a{b^{k - 1}} + {b^k})\end{array}$

Vậy đẳng thức đúng với k+1. Do đó, theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi $n \in \mathbb{N}*$.