Giải bài 6 trang 64 vở thực hành Toán 9 — Không quảng cáo

Đề bài

Không dùng MTCT, tính ${\left( {\sqrt[3]{5}.\sqrt[3]{7}} \right)^3}$. Sử dụng kết quả nhận được, hãy giải thích vì sao $\sqrt[3]{5}.\sqrt[3]{7} = \sqrt[3]{{5.7}}$

Lời giải chi tiết

Áp dụng quy tắc lũy thừa của một tích ta có ${\left( {a.b} \right)^3} = {a^3}.{b^3}$. Vì vậy ${\left( {\sqrt[3]{5}.\sqrt[3]{7}} \right)^3} = {\left( {\sqrt[3]{5}} \right)^3}.{\left( {\sqrt[3]{7}} \right)^3} = 5.7 = 35$.

Mặt khác, theo định nghĩa căn bậc ba ta có ${\left( {\sqrt[3]{5}} \right)^3} = 5$ và ${\left( {\sqrt[3]{7}} \right)^3} = 7$. Do đó ${\left( {\sqrt[3]{5}.\sqrt[3]{7}} \right)^3} = 5.7$ (*)

Lại theo định nghĩa căn bậc ba, từ (*) suy ra $\sqrt[3]{5}.\sqrt[3]{7} = \sqrt[3]{{5.7}}$.

Nhận xét. Một cách tổng quát, có thể chứng minh các quy tắc nhân, chia, nâng lên lũy thừa các căn bậc ba sau đây:

• $\sqrt[3]{a}.\sqrt[3]{b} = \sqrt[3]{{a.b}}$ (Quy tắc nhân hai căn bậc ba);
• $\sqrt[3]{a}:\sqrt[3]{b} = \sqrt[3]{{a:b}},\left( {b \ne 0} \right)$ (Quy tắc chia hai căn bậc ba);

${\left( {\sqrt[3]{a}} \right)^n} = \sqrt[3]{{{a^n}}},\left( {n \in \mathbb{N}} \right)$ (Quy tắc nâng lên lũy thừa một căn bậc ba).