Giải bài 7 trang 61 sách bài tập toán 12 - Cánh diều — Không quảng cáo

Đề bài

Trong mỗi ý a), b), c), d), chọn phương án đúng (Đ) hoặc sai (S).

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA = SB = SC = AB = AC = a$ và $BC = a\sqrt 2$ (Hình 9) .

a) Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ và tam giác $SAB$ đều.

b) $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = 0$ và $\left( {\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {AB} } \right) = {120^ \circ }$.

c) $\overrightarrow {SC} .\overrightarrow {AB}  = \frac{{{a^2}}}{2}$.

d) $\cos \left( {\overrightarrow {SC} ,\overrightarrow {AB} } \right) = \frac{1}{2}$.

Lời giải chi tiết

Xét tam giác $ABC$ có: $A{B^2} + A{C^2} = 2{a^2} = B{C^2}$. Vậy tam giác $ABC$ vuông tại $A$.

Xét tam giác $SAB$ có: $SA = SB = AB = a$. Vậy tam giác $SAB$ đều.

Vậy a) đúng.

Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên $AB \bot AC \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = {90^ \circ }$. Vậy $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = 0$.

$\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {AB}  =  - \overrightarrow {AS} .\overrightarrow {AB}  =  - \left| {\overrightarrow {AS} } \right|.\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AS} ,\overrightarrow {AB} } \right) =  - a.a.\cos {60^ \circ } =  - \frac{{{a^2}}}{2}$

$\cos \left( {\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {AB} } \right) = \frac{{\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {AB} }}{{\left| {\overrightarrow {SA} } \right|.\left| {\overrightarrow {AB} } \right|}} = \frac{{ - \frac{{{a^2}}}{2}}}{{a.a}} =  - \frac{1}{2} \Rightarrow \left( {\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {AB} } \right) = {120^ \circ }$.

Vậy b) đúng.

$\overrightarrow {SC} .\overrightarrow {AB}  = \left( {\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {AC} } \right).\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {SA} .\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB}  =  - \frac{{{a^2}}}{2} + 0 =  - \frac{{{a^2}}}{2}$. Vậy c) sai.

$\cos \left( {\overrightarrow {SC} ,\overrightarrow {AB} } \right) = \frac{{\overrightarrow {SC} .\overrightarrow {AB} }}{{\left| {\overrightarrow {SC} } \right|.\left| {\overrightarrow {AB} } \right|}} = \frac{{ - \frac{{{a^2}}}{2}}}{{a.a}} =  - \frac{1}{2}$. Vậy d) sai.

a) Đ

b) Đ

c) S

d) S