Giải bài 7 trang 97 SGK Toán 10 tập 1 – Chân trời sáng tạo — Không quảng cáo

Đề bài

Cho tam giác ABC

a)  Xác định các điểm M, N, P thỏa mãn: $\overrightarrow {MB}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {AN}  = 3\overrightarrow {NB} ,\overrightarrow {CP}  = \overrightarrow {PA}$

b) Biểu thị mỗi vectơ $\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP}$ theo hai vectơ $\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BA}$

c) Chứng minh ba điểm M, N, P thẳng hàng

Lời giải chi tiết

a)      Ta có:

+) $\overrightarrow {MB}  = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {BC}  \Rightarrow \overrightarrow {MB}$ và $\overrightarrow {BC}$ cùng hướng; tỉ số độ dài $\dfrac{{BC}}{{MB}} = 2$

$\Rightarrow M$ nằm ngoài đoạn thẳng BC sao cho $MB = \dfrac{1}{2}BC$

+) ${\overrightarrow {AN}  = 3\overrightarrow {NB}  \Rightarrow \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BN}  = 3\overrightarrow {NB}  \Rightarrow 4\overrightarrow {NB}  = \overrightarrow {AB}  \Leftrightarrow \overrightarrow {NB}  = \dfrac{1}{4}\overrightarrow {AB} }$

$\Rightarrow N$ thuộc đoạn thẳng AB và $NB=\dfrac{{1}}{{4}} AB$

+) $\overrightarrow {CP}  = \overrightarrow {PA}  \Leftrightarrow \overrightarrow {PC}  + \overrightarrow {PA}  = \overrightarrow 0$

$\Rightarrow P$ là trung điểm của CA

b) $\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {BN}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {BC}  + \frac{1}{4}\overrightarrow {BA}$

$\begin{array}{l}\overrightarrow {MP}  = \overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {CP}  = \overrightarrow {MC}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {CA}  \\= \frac{3}{2}\overrightarrow {BC}  + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BA}  - \overrightarrow {BC} } \right)\\ = \overrightarrow {BC}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {BA} \end{array}$

c) Ta có:

$\overrightarrow {MN}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {BC}  + \frac{1}{4}\overrightarrow {BA} ;$ $\overrightarrow {MP}  = \overrightarrow {BC}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {BA}$

$\Rightarrow \overrightarrow {MP}  = 2\overrightarrow {MN}$

Vậy $M,N,P$ thẳng hàng