Giải bài 7 trang 74 SGK Toán 10 tập 2 – Chân trời sáng tạo
Lập phương trình đường tròn trong các trường hợp sau:
Đề bài
Lập phương trình đường tròn trong các trường hợp sau:
a) Có tâm I(−2;4) và bán kính bằng 9
b) Có tâm I(1;2) và đi qua điểm A(4;5)
c) Đi qua hai điểm A(4;1),B(6;5) và có tâm nằm trên đường thẳng 4x+y−16=0
d) Đi qua gốc tọa độ và cắt 2 trục tọa độ tại các điểm có hoành độ a và tung độ là b
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Với tâm là I(a;b) và bán kính R, phương trình đường tròn có dạng (x−a)2+(y−b)2=R2
b) Bước 1: Xác định bán kính (khoảng cách IA)
Bước 2: Viết phương trình như câu a)
c) Bước 1: Từ phương trình mà tâm nằm trên đó, gọi tọa độ tâm qua một ẩn
Bước 2; Giải phương trình IA=IB tìm tọa độ điểm I (với I là tâm đường tròn)
Bước 3: Viết phương trình đường tròn như câu a)
d) Bước 1: Giả sử phương trình đường tròn có dạng x2+y2−2mx−2ny+p=0 (với tâm I(m;n),R=√m2+n2−p)
Bước 2: Thay tọa độ các điểm theo giả thiết vào phương trình, xác định m, n, p)
Bước 3: Xác định phương trình đường tròn
Lời giải chi tiết
a) Ta có phương trình đường tròn là (C1):(x+2)2+(y−4)2=81
b) Ta có: →IA=(3;3)⇒IA=3√2=R
Suy ra phương trình đường tròn là; C2:(x−1)2+(y−2)2=18
c) Vì tâm đường tròn nằm trên đường thẳng 4x+y−16=0 nên có tọa độ I(a;16−4a)
Ta có: IA=√(a−4)2+(16−4a−1)2,IB=√(a−6)2+(16−4a−5)2
A, B thuộc đường tròn nên IA=IB⇒√(a−4)2+(16−4a−1)2=√(a−6)2+(16−4a−5)2
⇒(a−4)2+(16−4a−1)2=(a−6)2+(16−4a−5)2⇒(a−4)2+(15−4a)2=(a−6)2+(11−4a)2⇒−28a=−84⇒a=3
Suy ra tâm đường tròn là I(3;4), bán kính R=IA=√10
Phương trình đường tròn trên là (C3):(x−3)2+(y−4)2=10
d) Giả sử phương trình đường tròn có dạng x2+y2−2mx−2ny+p=0 (với tâm I(m;n),R=√m2+n2−p)
Đường tròn đi qua gốc tọa độ và cắt 2 trục tọa độ tại các điểm có hoành độ a và tung độ là b nên ta có hệ phương trình:
Ta có điều kiện a,b≠0, vì khi bằng 0 thì trùng với gốc tọa độ
{02+02−2m.0−2n.0+p=0a2+02−2ma−2n.0+p=002+b2−2m.0−2nb+p=0⇔{p=0a2−2ma=0b2−2nb=0⇔{p=0m=a2n=b2
Vậy phương trình chính tắc của đường tròn trên là x2+y2−ax−by=0