Giải bài 8 trang 14 sách bài tập toán 8 - Chân trời sáng tạo
Chứng minh rằng, với mọi số nguyên n, a) ({left( {2n + 1} right)^2} - {left( {2n - 1} right)^2}) chia hết cho 8;
Đề bài
Chứng minh rằng, với mọi số nguyên n
a) \((2n + 1)^2 − (2n − 1)^2\) chia hết cho 8;
b) \((8n + 4)^2 − (2n + 1)^2\) chia hết cho 15.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về hằng đẳng thức để chứng minh: \(\left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right) = {a^2} - {b^2}\)
Lời giải chi tiết
a) Ta có:
\({\left( {2n + 1} \right)^2} - {\left( {2n - 1} \right)^2} \)
\(= \left( {2n + 1 + 2n - 1} \right)\left( {2n + 1 - 2n + 1} \right) \)
\(= 4n.2 = 8n \vdots 8\) với mọi số nguyên n.
b) Ta có:
\({\left( {8n + 4} \right)^2} - {\left( {2n + 1} \right)^2} \)
\(= \left( {8n + 4 + 2n + 1} \right)\left( {8n + 4 - 2n - 1} \right) \)
\(= \left( {10n + 5} \right)\left( {6n + 3} \right)\)
\( = 15{\left( {2n + 1} \right)^2} \vdots 15\) với mọi số nguyên n