Giải bài tập 9.19 trang 83 SGK Toán 9 tập 2 - Kết nối tri thức
Cho điểm I nằm ngoài đường tròn (O). Qua I kẻ hai đường thẳng lần lượt cắt (O) tại bốn điểm A, B và C, D sao cho A nằm giữa B và I, C nằm giữa D và I. Chứng minh rằng (widehat {IBD} = widehat {ICA},widehat {IAC} = widehat {IDB}) và (IA.IB = IC.ID).
Đề bài
Cho điểm I nằm ngoài đường tròn (O). Qua I kẻ hai đường thẳng lần lượt cắt (O) tại bốn điểm A, B và C, D sao cho A nằm giữa B và I, C nằm giữa D và I. Chứng minh rằng ^IBD=^ICA,^IAC=^IDB và IA.IB=IC.ID.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+ Chứng minh ^ABD+^ACD=180o, mà ^ICA+^ACD=180o nên ^IBD=^ICA.
+ Chứng minh ^CAB+^CDB=180o, mà ^CAB+^IAC=180o nên ^IAC=^IDB.
+ Chứng minh ΔIAC∽.
Lời giải chi tiết
Tứ giác ABDC nội tiếp (O) nên \widehat {ABD} + \widehat {ACD} = {180^o}, mà \widehat {ICA} + \widehat {ACD} = {180^o} (hai góc kề bù) nên \widehat {IBD} = \widehat {ICA}
Tứ giác ABDC nội tiếp (O) nên\widehat {CAB} + \widehat {CDB} = {180^o}, mà \widehat {CAB} + \widehat {IAC} = {180^o} (hai góc kề bù) nên \widehat {IAC} = \widehat {IDB}
Tam giác IAC và tam giác IDB có:
Góc I chung
\widehat {ICA} = \widehat {IBD} (cmt).
Do đo, \Delta IAC\backsim \Delta IDB\Rightarrow \frac{IA}{IC}=\frac{ID}{IB}\Rightarrow IA.IB=IC.ID.