Giải mục 1 trang 47, 48, 49, 50 Chuyên đề học tập Toán 10 - Kết nối tri thức

Trong mặt phẳng tọa độ, cho hypebol có phương trình chính tắc

HĐ1

Trong mặt phẳng tọa độ, cho hypebol có phương trình chính tắc $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ .

a) Hãy giải thích vì sao, nếu điểm $M({x_0};{y_0})$ thuộc hypebol thì các điểm có tọa độ $({x_0}; - {y_0}),( - {x_0};{y_0}),( - {x_0}; - {y_0})$ cũng thuộc hypebol (H.3.12).

b) Tìm tọa độ các giao điểm của hypebol với trục hoành. Hypebol có cắt trục tung hay không? Vì sao?

c) Với điểm $M({x_0};{y_0})$ thuộc hypebol, hãy so sánh $\left| {{x_0}} \right|$ với $a$

Lời giải chi tiết:

a) Nếu điểm $M({x_0};{y_0})$ thuộc hypebol thì $\frac{{{x_0}^2}}{{{a^2}}} - \frac{{{y_0}^2}}{{{b^2}}} = 1$

$\Rightarrow \frac{{{x_0}^2}}{{{a^2}}} - \frac{{{{( - {y_0})}^2}}}{{{b^2}}} = 1;\frac{{{{( - {x_0})}^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y_0}^2}}{{{b^2}}} = 1;\frac{{{{( - {x_0})}^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{{( - {y_0})}^2}}}{{{b^2}}} = 1$

hay các điểm có tọa độ $({x_0}; - {y_0}),( - {x_0};{y_0}),( - {x_0}; - {y_0})$ cũng thuộc Hypebol.

$y = 0 \Rightarrow \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} = 1 \Rightarrow x = \pm a$

Giao điểm của hypebol với Ox là ${A_1}\left( { - a;0} \right),{A_2}\left( {a;0} \right).$

$x = 0 \Rightarrow - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ Vô lý vì $- \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} \le 0 < 1$

Vậy hypebol không có giao điểm với trục tung.

c) $M({x_0};{y_0})$ thuộc hypebol thì $\frac{{{x_0}^2}}{{{a^2}}} - \frac{{{y_0}^2}}{{{b^2}}} = 1$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 1 = \frac{{{x_0}^2}}{{{a^2}}} - \frac{{{y_0}^2}}{{{b^2}}} \le \frac{{{x_0}^2}}{{{a^2}}}\\ \Leftrightarrow {x_0}^2 \ge {a^2}\\ \Leftrightarrow \left| {{x_0}} \right| \ge a\end{array}$