Giải mục 1 trang 67, 68 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá — Không quảng cáo

HĐ1

Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 67 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Cho hai vectơ ngược hướng $\vec a$ và $\vec b$ là hai vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$ và $\vec a'$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng $d'$(Hình 5.26). Cho biết $(d,d') = {45^{^\circ }}$. Hãy tính số đo của hai góc: $\left( {\vec a,\vec a'} \right)$ và $(\vec b,\vec a')$. Từ đó chỉ ra mối quan hệ giữa hai góc $(d,d')$ và $(\vec a,\vec a')$, giữa $\cos (d,d')$ và $\cos (\vec a,\vec a')$.

Phương pháp giải:

Sử dụng tích vô hướng của hai vectơ để tính góc giữa chúng:

$\cos \theta  = \frac{{\vec u \cdot \vec v}}{{|\vec u||\vec v|}}$

Lời giải chi tiết:

- Góc giữa $\vec a$ và $\vec a'$:

Ta sử dụng công thức cosin cho góc giữa hai vectơ:

$\cos (\vec a,\vec a') = \frac{{\vec a \cdot \vec a'}}{{\left| {\vec a} \right|.\left| {\vec a'} \right|}} = \frac{{{a_1}{{a'}_1} + {a_2}{{a'}_2} + {a_3}{{a'}_3}}}{{\sqrt {(a_1^2 + a_2^2 + a_3^2)({a_1}{'^2} + {a_2}{'^2} + {a_3}{'^2})} }}$

Biết rằng $(d,d') = {45^\circ }$ và Vì $\overrightarrow a$ là vector chỉ phương của d và $\overrightarrow {a'}$ là vector chỉ phương của d' nên góc giữa hai vector bằng góc giữa hai đường thẳng. Suy ra góc giữa $\vec a$ và $\vec a'$ là ${45^\circ }$.

- Góc giữa $\vec b$ và $\vec a'$:

Vì $\vec b =  - \vec a$, ta có:

$\cos \left( {\vec b,\vec a'} \right) = \cos \left( { - \vec a,\vec a'} \right) =  - \cos \left( {\vec a,\vec a'} \right) =  - \cos 45^\circ$

Suy ra:

$\cos \left( {\vec b,\vec a'} \right) =  - \frac{1}{{\sqrt 2 }}$

Do đó, góc giữa $\vec b$ và $\vec a'$ là ${135^\circ }$.

- Mối quan hệ giữa hai góc:

Góc giữa hai đường thẳng $(d,d')$ và góc giữa hai vectơ chỉ phương $\vec a$ và $\vec a'$ bằng nhau, tức là: $(d,d') = \left( {\vec a,\vec a'} \right) = {45^\circ }$

- Tương tự, mối quan hệ giữa $\cos (d,d')$ và $\cos \left( {\vec a,\vec a'} \right)$ là: $\cos (d,d') = \cos \left( {\vec a,\vec a'} \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }}$

LT1

Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 68 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Trong không gian Oxyz, tính góc giữa hai đường thẳng d và d' trong các trường hợp sau:

a) $d:\frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{z}{5}$ và $d':\frac{{x - 1}}{4} = \frac{y}{2} = \frac{{z + 1}}{2}$

b) $d:\frac{x}{2} = \frac{y}{{ - 4}} = \frac{z}{5}$ và $d':\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x = 2 - t\;\\y = 3 + 2t\;\\z = 2t\end{array}\end{array}} \right.$ $(t \in \mathbb{R})$

Phương pháp giải:

Xác định vector chỉ phương của mỗi đường thẳng.

Sử dụng công thức cosin góc giữa hai vector: $\cos (\vec a,\vec b) = \frac{{\vec a \cdot \vec b}}{{|\vec a||\vec b|}}$.

Tính góc từ giá trị cosin.

Lời giải chi tiết:

a)

Vector chỉ phương:

$d:\overrightarrow {{a_1}}  = (3,4,5)$

$d':\overrightarrow {{a_2}}  = (4,2,2)$

Áp dụng công thức:

$\cos (\overrightarrow {{a_1}} ,\overrightarrow {{a_2}} ) = \frac{{3 \cdot 4 + 4 \cdot 2 + 5 \cdot 2}}{{\sqrt {({3^2} + {4^2} + {5^2})({4^2} + {2^2} + {2^2})} }}$

$= \frac{{12 + 8 + 10}}{{\sqrt {(9 + 16 + 25)(16 + 4 + 4)} }}$

$= \frac{{30}}{{\sqrt {50 \cdot 24} }}$

$= \frac{3}{{\sqrt 2 }}$

Suy ra góc $\phi  = 30^\circ$

b)

Vector chỉ phương:

$d:\overrightarrow {{a_1}}  = (2, - 4,5)$

$d':\overrightarrow {{a_2}}  = ( - 1,2,2)$

Áp dụng công thức:

$\cos (\overrightarrow {{a_1}} ,\overrightarrow {{a_2}} ) = \frac{{2 \cdot ( - 1) + ( - 4) \cdot 2 + 5 \cdot 2}}{{\sqrt {({2^2} + {{( - 4)}^2} + {5^2})({{( - 1)}^2} + {2^2} + {2^2})} }}$

$= \frac{{ - 2 - 8 + 10}}{{\sqrt {(4 + 16 + 25)(1 + 4 + 4)} }}$

$= \frac{0}{{\sqrt {45 \cdot 9} }}$

$= 0$

Do $\cos (\phi ) = 0$, nên $\phi  = 90^\circ$