Giải mục 1 trang 41, 42, 43 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá — Không quảng cáo

HĐ1

Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 41 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Xét các vectơ có điểm đầu và điểm cuối là hai trong tám đỉnh của hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ (Hình 5.1).

a) Tìm bốn vectơ có giá trị vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$.

b) Tìm hai vectơ không cùng phương và có giá song song hoặc nằm trong mặt phẳng $(ABCD)$.

Phương pháp giải:

- Để tìm các vectơ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$, ta tìm các vectơ có phương vuông góc với các vectơ nằm trong mặt phẳng này.

- Để tìm các vectơ nằm trong mặt phẳng $(ABCD)$, ta xét các vectơ có giá là các đoạn thẳng trong mặt phẳng đó hoặc song song với nó.

Lời giải chi tiết:

a)

- Các vectơ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ sẽ có phương vuông góc với mặt phẳng này. Các vectơ này sẽ có phương dọc theo trục$AA',BB',CC',DD'$, vì các đoạn thẳng nối đỉnh giữa hai mặt phẳng song song $(ABCD)$ và $(A'B'C'D')$ đều vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$.

- Các vectơ cần tìm là:

$\overrightarrow {AA'} ,\overrightarrow {BB'} ,\overrightarrow {CC'} ,\overrightarrow {DD'}$

Đây là các vectơ có giá trị vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$, vì chúng có phương dọc theo chiều cao của hình hộp chữ nhật, vuông góc với mặt phẳng đáy $(ABCD)$.

b)

- Các vectơ nằm trong mặt phẳng $(ABCD)$ có phương song song với các cạnh của hình chữ nhật$ABCD$.

- Hai vectơ không cùng phương có thể lấy như sau:

$\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC}$

Đây là các vectơ có giá nằm trong mặt phẳng $(ABCD)$, lần lượt dọc theo hai cạnh của hình chữ nhật$ABCD$.

LT1

Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 42 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Cho hình chóp $S.ABCD$ với $ABCD$ là hình vuông và $SA$ vuông góc với $(ABCD)$.

a) Tìm một vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng $(ABCD)$, $(SAB)$, $(SAD)$, và $(SAC)$.

b) Tìm hai cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng $(SCD)$.

Phương pháp giải:

- Vectơ pháp tuyến của một mặt phẳng là một vectơ vuông góc với tất cả các vectơ thuộc mặt phẳng đó.

- Hai vectơ chỉ phương của một mặt phẳng là hai vectơ không đồng phương và cùng nằm trong mặt phẳng đó.

Lời giải chi tiết:

a)

- Mặt phẳng $(ABCD)$:

Theo đề bài, ta có $SA$ vuông với mặt phẳng $(ABCD)$ nên $\overrightarrow {SA}$ cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(ABCD)$.

- Mặt phẳng $(SAB)$:

Ta chọn các vectơ chỉ phương:

$\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {AB}$

Theo đề bài, ta có $DA$ vuông góc với $\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {AB}$ nên $\overrightarrow {DA}$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(SAB)$.

- Mặt phẳng $(SAD)$:

Chọn các vectơ chỉ phương:

$\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {AD}$

Theo đề bài, ta có $BA$ vuông góc với $\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {AD}$ nên $\overrightarrow {BA}$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(SAD)$.

- Mặt phẳng $(SAC)$:

Chọn các vectơ chỉ phương:

$\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {AC}$

Theo đề bài, ta có $BD$ vuông góc với $\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {AC}$ nên $\overrightarrow {BD}$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(SAC)$.

b)

Các vectơ chỉ phương của mặt phẳng này là:

$\overrightarrow {SC} ,\overrightarrow {CD}$ và $\overrightarrow {SD} ,\overrightarrow {DC}$

HĐ2

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 42 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $(\alpha )$ có cặp vectơ chỉ phương $\vec a = ({a_1},{a_2},{a_3})$ và $\vec b = ({b_1},{b_2},{b_3})$ (Hình 5.4). Xét vectơ $\vec n$ được xác định như sau:

$\vec n = ({a_2}{b_3} - {a_3}{b_2},{a_3}{b_1} - {a_1}{b_3},{a_1}{b_2} - {a_2}{b_1})$

Tính $\vec n \cdot \vec a$ và $\vec n \cdot \vec b$. Vectơ $\vec n$ có phải là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha )$ không? Vì sao?

Phương pháp giải:

Giả sử hai vectơ $\vec a$ và $\vec b$ có tọa độ lần lượt là:

$\vec a = ({a_1},{a_2},{a_3}),\quad \vec b = ({b_1},{b_2},{b_3})$

Công thức tích vô hướng của chúng là:

$\vec a \cdot \vec b = {a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + {a_3}{b_3}$

Lời giải chi tiết:

- Tính tích vô hướng $\vec n \cdot \vec a$:

Ta có:

$\vec n \cdot \vec a = ({a_2}{b_3} - {a_3}{b_2}){a_1} + ({a_3}{b_1} - {a_1}{b_3}){a_2} + ({a_1}{b_2} - {a_2}{b_1}){a_3}$

Sau khi phân tích và đơn giản hóa, kết quả sẽ là $0$.

- Tính tích vô hướng $\vec n \cdot \vec b$:

Tương tự:

$\vec n \cdot \vec b = ({a_2}{b_3} - {a_3}{b_2}){b_1} + ({a_3}{b_1} - {a_1}{b_3}){b_2} + ({a_1}{b_2} - {a_2}{b_1}){b_3}$

Sau khi tính toán, kết quả cũng là $0$.

Vì $\vec n \cdot \vec a = 0$ và $\vec n \cdot \vec b = 0$, vectơ $\vec n$ vuông góc với cả $\vec a$ và $\vec b$. Do đó, $\vec n$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha )$.

LT2

Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 43 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Trong không gian Oxyz, cho tứ diện $ABCD$ có các đỉnh là $A(5;1;3)$, $B(1;6;2)$, $C(5;0;4)$ và $D(4;0;6)$. Tìm một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha )$ chứa cạnh $AB$ và song song với cạnh $CD$.

Phương pháp giải:

Vì mặt phẳng $(\alpha )$ chứa cạnh $AB$ và song song với cạnh $CD$, nên vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha )$ sẽ vuông góc với cả $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {CD}$. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha )$ là tích có hướng của hai vectơ:

$\vec n = \overrightarrow {AB}  \times \overrightarrow {CD}$.

Lời giải chi tiết:

Tính vectơ chỉ phương của các cạnh:

$\overrightarrow {AB}  = B - A = (1 - 5,6 - 1,2 - 3) = ( - 4,5, - 1)$

$\overrightarrow {CD}  = D - C = (4 - 5,0 - 0,6 - 4) = ( - 1,0,2)$

Tính tích có hướng $\vec n = \overrightarrow {AB}  \times \overrightarrow {CD}$:

$\vec n = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\bf{i}}&{\bf{j}}&{\bf{k}}\\{ - 4}&5&{ - 1}\\{ - 1}&0&2\end{array}} \right|$

Tính từng bước:

$\vec n = {\bf{i}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}5&{ - 1}\\0&2\end{array}} \right| - {\bf{j}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 4}&{ - 1}\\{ - 1}&2\end{array}} \right| + {\bf{k}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 4}&5\\{ - 1}&0\end{array}} \right|$

$= {\bf{i}}(5 \cdot 2 - ( - 1) \cdot 0) - {\bf{j}}( - 4 \cdot 2 - ( - 1) \cdot ( - 1)) + {\bf{k}}( - 4 \cdot 0 - 5 \cdot ( - 1))$

$= {\bf{i}}(10) - {\bf{j}}( - 8 - 1) + {\bf{k}}(5)$

$= (10,9,5)$

Vậy vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha )$ là:

$\vec n = (10,9,5)$