Giải mục 1 trang 84, 85, 86 SGK Toán 9 tập 2 - Kết nối tri thức
Ta đã biết các tam giác đều và hình vuông có các đỉnh nằm trên một đường tròn. Ta dựng một đa giác lồi 5 cạnh có các đỉnh nằm trên một đường tròn như sau: - Vẽ đường tròn tâm O bán kính R. - Lần lượt lấy các điểm A, B, C, D, E trên đường tròn theo thứ tự ngược chiều kim đồng hồ (hoặc theo chiều kim đồng hồ) sao cho: (widehat {AOB} = widehat {BOC} = widehat {COD} = widehat {DOE} = widehat {EOA} = frac{{{{360}^o}}}{5} = {72^o}). Em hãy giải thích vì sao các cạnh và các góc của đa giác
HĐ1
Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 84 SGK Toán 9 Kết nối tri thức
Ta đã biết các tam giác đều và hình vuông có các đỉnh nằm trên một đường tròn. Ta dựng một đa giác lồi 5 cạnh có các đỉnh nằm trên một đường tròn như sau:
- Vẽ đường tròn tâm O bán kính R.
- Lần lượt lấy các điểm A, B, C, D, E trên đường tròn theo thứ tự ngược chiều kim đồng hồ (hoặc theo chiều kim đồng hồ) sao cho: ^AOB=^BOC=^COD=^DOE=^EOA=360o5=72o.
Em hãy giải thích vì sao các cạnh và các góc của đa giác ABCDE bằng nhau (H.9.39).
Phương pháp giải:
+ Chứng minh được các tam giác ΔEOA=ΔEOD=ΔCOD=ΔCOB=ΔAOB(c.g.c)
Suy ra: AE=ED=DC=CB=BA và
^OAE=^OEA=^ODE=^OED=^ODC=^OCD=^OCB=^OBC=^OBA=^OAB
+ Suy ra: ^BAE=^AED=^EDC=^DCB=^CBA
Lời giải chi tiết:
Vì đa giác ABCDE nội tiếp đường tròn (O) nên OA=OB=OC=OD=OE.
Theo giả thiết: ^AOB=^BOC=^COD=^DOE=^EOA=72o
Do đó, ΔEOA=ΔEOD=ΔCOD=ΔCOB=ΔAOB(c.g.c).
Suy ra:
+) AE=ED=DC=CB=BA
+) ^OAE=^OEA=^ODE=^OED=^ODC=^OCD=^OCB=^OBC=^OBA=^OAB
Do đó, ^OAE+^OAB=^OEA+^OED=^ODE+^ODC=^OCD+^OCB=^OBC+^OBA
Suy ra: ^BAE=^AED=^EDC=^DCB=^CBA.
Vậy các cạnh và các góc của đa giác ABCDE bằng nhau.
CH
Trả lời câu hỏi Câu hỏi trang 85 SGK Toán 9 Kết nối tri thức
Nếu một lục giác đều (đa giác đều 6 cạnh) nội tiếp một đường tròn bán kính 2cm (H.9.40) thì độ dài các cạnh của lục giác đều đó bằng bao nhiêu centimét? Số đo các góc của lục giác đều bằng bao nhiêu độ?
Phương pháp giải:
+ Chứng minh ΔAOF=ΔEOF=ΔEOD=ΔCOD=ΔCOB=ΔAOB(c.c.c), suy ra
^FOA=^AOB=^BOC=^COD=^DOE=^EOF=360o6=60o
+ Chứng minh tam giác AOB đều, từ đó tính được AB và ^OAB=^OBA=60o.
+ Tính được ^FAB=^ABC=^BCD=^CDE=^DEF=^EFA=120o.
Lời giải chi tiết:
Vì ABCDEF là lục giác đều AB=BC=CD=DE=EF=FA.
Mà lục giác ABCDEF nội tiếp đường tròn (O) nên OA=OB=OC=OD=OE=OF.
Do đó, ΔAOF=ΔEOF=ΔEOD=ΔCOD=ΔCOB=ΔAOB(c.c.c)
Do đó,
+) ^FOA=^AOB=^BOC=^COD=^DOE=^EOF=360o6=60o
+) ^OAF=^OFA=^OEF=^OFE=^ODE=^OED=^ODC=^OCD=^OCB=^OBC=^OBA=^OAB
Tam giác AOB có: OA=OB,^AOB=60o nên tam giác OAB đều.
Do đó, OA=AB=2cm và ^OAB=^OBA=60o
Suy ra:
^OAF+^OAB=^OFA+^OFE=^OEF+^OED=^ODE+^ODC=^OCD+^OCB=^OBC+^OBA=60o+60o=120o
Do đó: ^FAB=^ABC=^BCD=^CDE=^DEF=^EFA=120o
Vậy lục giác đều ABCDEF nội tiếp (O) bán kính 2cm có độ dài cạnh bằng 2cm và số đo các góc lục giác đều bằng 120o
LT1
Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 86 SGK Toán 9 Kết nối tri thức
Cho M, N, P, Q, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DE và EA của ngũ giác đều ABCDE (H.9.44). Hỏi MNPQK có phải là ngũ giác đều hay không?
Phương pháp giải:
+ Chứng minh ΔAMK=ΔBMN=ΔCPN=ΔDPQ=ΔEKQ(c.g.c) nên KM=MN=PN=PQ=QK.
+ Chứng minh được ^KMA=^BMN và ^KMA+^KMN+^BMN=180o⇒^KMN=180o−2^KMA.
+ Chứng minh tương tự ta có: ^NPQ=^PQK=^QKM=180o−2^KMA. Do đó, đa giác MNPQK là ngũ giác đều.
Lời giải chi tiết:
Vì ABCDE là ngũ giác đều nên AB=BC=CD=DE=EA, ˆA=ˆB=ˆC=ˆD=ˆE
Vì M, N, P, Q, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DE, EA.
Do đó, AM=MB=NB=NC=CP=PD=DQ=QE=EK=KA
Ta có: AM=MB=NB=NC=CP=PD=DQ=QE=EK=KA và ˆA=ˆB=ˆC=ˆD=ˆE
Suy ra: ΔAMK=ΔBMN=ΔCPN=ΔDPQ=ΔEKQ(c.g.c)
Do đó: + KM=MN=PN=PQ=QK(1).
+ ^KMA=^AKM=^BMN=^MNB=^CNP=^CPN=^DPQ=^DQP=^EQK=^EKQ
Ta có: ^KMA+^KMN+^BMN=180o (các góc kề bù)
Mà ^KMA=^BMN nên ^KMN=180o−2^KMA.
Vì ^BNM+^MNP+^PNC=180o (các góc kề bù)
Mà ^KMA=^BNM=^PNC nên ^MNP=180o−2^KMA.
Chứng minh tương tự ta có:
^NPQ=^PQK=^QKM=180o−2^KMA
Do đó, ^KMN=^MNP=^NPQ=^PQK=^QKM(2)
Từ (1) và (2) suy ra: MNPQK là ngũ giác đều.
TTN1
Trả lời câu hỏi Thử thách nhỏ 1 trang 87 SGK Toán 9 Kết nối tri thức
Cho một bát giác đều (đa giác đều 8 cạnh) nội tiếp một đường tròn tâm O (H.9.45). Hỏi mỗi góc của bát giác đều có số đo bằng bao nhiêu?
Phương pháp giải:
+ Gọi ABCDEFGH là bát giác đều nội tiếp đường tròn (O).
+ Chứng minh ΔAOH=ΔGOH=ΔGOF=ΔEOF=ΔEOD=ΔCOD=ΔCOB=ΔAOB(c.c.c), suy ra: ^HOA=^HOG=^GOF=^AOB=^BOC=^COD=^DOE=^EOF=360o8=45o
+ Tính được: ^OAB=^OBA=180o−^AOB2=67,5o
+ Do đó ^ABC=^BCD=^CDE=^DEF=^EFG=^FGH=^GHA=135o
Lời giải chi tiết:
Gọi ABCDEFGH là bát giác đều nội tiếp đường tròn (O).
Vì ABCDEFGH là bát giác đều nên AB=BC=CD=DE=EF=FG=GH=HA.
Vì ABCDEFGH là bát giác đều nội tiếp (O) nên OA=OB=OC=OD=OE=OF=OH=OG.
Do đó, ΔAOH=ΔGOH=ΔGOF=ΔEOF=ΔEOD=ΔCOD=ΔCOB=ΔAOB(c.c.c)
Suy ra: ^HOA=^HOG=^GOF=^AOB=^BOC=^COD=^DOE=^EOF=360o8=45o
Tam giác AOB cân tại O (do OA=OB) nên ^OAB=^OBA.Do đó, ^OAB=^OBA=180o−^AOB2=67,5o
Chứng minh tương tự ta có:
^OBC=^OCB=^ODE=^OED=^OEF=^OFE=^OFG=^OGF=^OGH=^OHG=^OHA=^OAH=67,5o
Suy ra ^ABC=^BCD=^CDE=^DEF=^EFG=^FGH=^GHA=135o.
Vậy mỗi góc của bát giác đều bằng 135o.