Giải mục 2 trang 10, 11 Chuyên đề học tập Toán 11 - Kết nối tri thức
Phép tịnh tiến biến T→u iến M thành M', N thành N' (H.1.7).
Hoạt động 2
Phép tịnh tiến biến T→u iến M thành M', N thành N' (H.1.7).
a) Có nhận xét gì về →MM′+→M′M và →M′N+→NN′
b) Tìm mối quan hệ giữa hai vectơ →MN và →M′N′.
Phương pháp giải:
Quan sát hình vẽ, áp dụng quy tắc 3 điểm điểm làm.
Lời giải chi tiết:
a) Phép tịnh tiến T→u biến điểm M thành M' thì →MM′=→u và biến N thành N' thì →NN′=→u.
Ta có: →MM′+→M′N=→u+→M′N và →M′N+→NN′=→M′N+→u
Do đó, →MM′+→M′N=→M′N+→NN′
b) Theo quy tắc ba điểm ta có: →MN=→MM′+→M′N và →M′N′=→M′N+→NN′
Mà theo câu a) ta có: →MM′+→M′N=→M′N+→NN′
Do đó, →MN=→M′N′
Luyện tập 2
Cho đường tròn (O; R) và điểm O' khác điểm O. Với mỗi điểm M thuộc (O; R) sao cho O, O', M không thẳng hàng, vẽ hình bình hành MOO'M'. Hỏi khi M thay đổi trên (O; R) thì M' thay đổi trên đường nào?
Phương pháp giải:
Vẽ hình và chứng minh M’ thay đổi trên trên đường tròn (O'; R) là ảnh của (O; R) qua phép tịnh tiến theo vectơ →OO′.
Lời giải chi tiết:
Ta có: MOO'M' là hình bình hành nên →OM=→O′M′ và →OO′=→MM′
Vì OM = R nên O′M′=|→O′M′|=|→OM|=OM=R , R cố định nên O' luôn cách M' một khoảng không đổi bằng R.
Do O, O' cố định và →OO′=→MM′ nên phép tịnh tiến theo vectơ →OO′ biến điểm M thành điểm M'. Suy ra nếu M thay đổi trên (O; R) thì M' luôn là ảnh của điểm M qua phép tịnh tiến theo vectơ →OO′.
Lại có phép tịnh tiến theo vectơ →OO′ biến đường tròn (O; R) thành đường tròn có bán kính là R và có tâm là ảnh của tâm O qua phép tịnh tiến theo vectơ →OO′ hay chính là điểm O'. Điều này có nghĩa là đường tròn (O'; R) là ảnh của đường tròn (O; R) qua phép tịnh tiến theo vectơ →OO′.
Mà O'M' = R không đổi nên M' luôn thuộc đường tròn (O'; R).
Vậy khi M thay đổi trên (O; R) thì M' thay đổi trên đường tròn (O'; R) là ảnh của (O; R) qua phép tịnh tiến theo vectơ →OO′.
Vận dụng 2
Trong việc lát mặt phẳng bởi các tam giác đều bằng nhau như được thể hiện trong Hình 1.10, phép tịnh tiến theo vectơ →u có biến mỗi viên gạch màu xanh thành một viên gạch màu xanh, mỗi viên gạch màu đỏ thành một viên gạch màu đỏ hay không?
Phương pháp giải:
Quan sát hình vẽ, dựa vào định nghĩa: Cho vectơ →u. Phép hiến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho →MM′=→u gọi là phép tịnh tiến theo →u, kí hiệu T→u. Vectơ →u được gọi là vectơ tịnh tiến.
Lời giải chi tiết:
Đặt một số điểm như hình vẽ.
Ta thấy: →HE=→u,→CD=→u,→EF=→u nên phép tịnh tiến T→u biến các điểm H, C, E tương ứng thành E, D, F. Do đó, T→u biến tam giác HCE thành tam giác EDF hay phép tịnh tiến theo vectơ →u biến một viên gạch màu xanh thành một viên gạch màu xanh. Đối với các viên gạch màu xanh khác, thực hiện tương tự. Vậy phép tịnh tiến theo vectơ →u biến mỗi viên gạch màu xanh thành một viên gạch màu xanh. Ta cũng có: →CD=→u,→DG=→u,→EF=→u nên phép tịnh tiến T→u biến các điểm C, D, E tương ứng thành D, G, F. Do đó, T→u biến tam giác CDE thành tam giác DGF hay phép tịnh tiến theo vectơ →u biến một viên gạch màu đỏ thành một viên gạch màu đỏ. Đối với các viên gạch màu đỏ khác, thực hiện tương tự. Vậy phép tịnh tiến theo vectơ →u biến mỗi viên gạch màu đỏ thành một viên gạch màu đỏ.