Giải mục 2 trang 16,17 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Tính chất của tích phân
HĐ4
Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 16 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Tính và so sánh:
a) \(\int\limits_0^1 {2xdx} \) và \(2\int\limits_0^1 {xdx} \);
b) \(\int\limits_0^1 {\left( {{x^2} + x} \right)dx} \) và \(\int\limits_0^1 {{x^2}dx} + \int\limits_0^1 {xdx} \);
c) \(\int\limits_0^3 {xdx} \) và \(\int\limits_0^1 {xdx} + \int\limits_1^3 {xdx} \).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về định nghĩa tích phân để tính: Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a; b] thì hiệu số \(F\left( b \right) - F\left( a \right)\) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x), kí hiệu \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \)
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: \(\int\limits_0^1 {2xdx} = {x^2}\left| \begin{array}{l}1\\0\end{array} \right. = 1\), \(2\int\limits_0^1 {xdx} = 2.\frac{{{x^2}}}{2}\left| \begin{array}{l}1\\0\end{array} \right. = 1\) nên \(\int\limits_0^1 {2xdx} = 2\int\limits_0^1 {xdx} \)
b) Ta có: \(\int\limits_0^1 {\left( {{x^2} + x} \right)dx} = \left( {\frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2}} \right)\left| \begin{array}{l}1\\0\end{array} \right. = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{5}{6}\)
\(\int\limits_0^1 {{x^2}dx} + \int\limits_0^1 {xdx} = \frac{{{x^3}}}{3}\left| \begin{array}{l}1\\0\end{array} \right. + \frac{{{x^2}}}{2}\left| \begin{array}{l}1\\0\end{array} \right. = \frac{1}{3} - 0 + \frac{1}{2} - 0 = \frac{5}{6}\)
Do đó, \(\int\limits_0^1 {\left( {{x^2} + x} \right)dx} = \int\limits_0^1 {{x^2}dx} + \int\limits_0^1 {xdx} \)
c) Ta có: \(\int\limits_0^3 {xdx} = \frac{{{x^2}}}{2}\left| \begin{array}{l}3\\0\end{array} \right. = \frac{{{3^2}}}{2} - 0 = \frac{9}{2}\); \(\int\limits_0^1 {xdx} + \int\limits_1^3 {xdx} = \frac{{{x^2}}}{2}\left| \begin{array}{l}1\\0\end{array} \right. + \frac{{{x^2}}}{2}\left| \begin{array}{l}3\\1\end{array} \right. = \frac{1}{2} - 0 + \frac{{{3^2}}}{2} - \frac{1}{2} = \frac{9}{2}\)
Do đó, \(\int\limits_0^3 {xdx} = \int\limits_0^1 {xdx} + \int\limits_1^3 {xdx} \)
LT3
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 17 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Tính các tích phân sau:
a) \(\int\limits_0^{2\pi } {\left( {2x + \cos x} \right)dx} \);
b) \(\int\limits_1^2 {\left( {{3^x} - \frac{3}{x}} \right)dx} \);
c) \(\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right)dx} \).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về tính chất của tích phân để tính: Cho f(x), g(x) là các hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Khi đó, ta có:
+ \(\int\limits_a^b {kf\left( x \right)dx} = k\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \) (k là hằng số)
+ \(\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx} = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} + \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} \)
+ \(\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx} = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} - \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} \)
Lời giải chi tiết:
a) \(\int\limits_0^{2\pi } {\left( {2x + \cos x} \right)dx} = 2\int\limits_0^{2\pi } {xdx} + \int\limits_0^{2\pi } {\cos xdx} = 2.\frac{{{x^2}}}{2}\left| \begin{array}{l}2\pi \\0\end{array} \right. + \sin x\left| \begin{array}{l}2\pi \\0\end{array} \right.\)
\( = {\left( {2\pi } \right)^2} - 0 + \sin 2\pi - \sin 0 = 4{\pi ^2}\)
b) \(\int\limits_1^2 {\left( {{3^x} - \frac{3}{x}} \right)dx} = \int\limits_1^2 {{3^x}dx} - 3\int\limits_1^2 {\frac{1}{x}dx} = \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}}\left| \begin{array}{l}2\\1\end{array} \right. - 3\ln \left| x \right|\left| \begin{array}{l}2\\1\end{array} \right. = \frac{1}{{\ln 3}}\left( {{3^2} - {3^1}} \right) - 3\ln 2 + 3\ln 1\)
\( = \frac{6}{{\ln 3}} - 3\ln 2\)
c) \(\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right)dx} = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx} - \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx = \tan x\left| \begin{array}{l}\frac{\pi }{3}\\\frac{\pi }{6}\end{array} \right. + \cot x\left| \begin{array}{l}\frac{\pi }{3}\\\frac{\pi }{6}\end{array} \right.} \)
\( = \tan \frac{\pi }{3} - \tan \frac{\pi }{6} + \cot \frac{\pi }{3} - \cot \frac{\pi }{6} = \sqrt 3 - \frac{{\sqrt 3 }}{3} + \frac{{\sqrt 3 }}{3} - \sqrt 3 = 0\)
LT4
Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 17 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Tính \(\int\limits_0^3 {\left| {2x - 3} \right|dx} \).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về tính chất của tích phân để tính: Cho f(x), g(x) là các hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Khi đó, ta có: \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \int\limits_a^c {f\left( x \right)dx} + \int\limits_c^b {f\left( x \right)dx} \) \(\left( {a < c < b} \right)\).
Lời giải chi tiết:
\(\int\limits_0^3 {\left| {2x - 3} \right|dx} = \int\limits_0^{\frac{3}{2}} {\left| {2x - 3} \right|dx} + \int\limits_{\frac{3}{2}}^3 {\left| {2x - 3} \right|dx} = \int\limits_0^{\frac{3}{2}} {\left( {3 - 2x} \right)dx} + \int\limits_{\frac{3}{2}}^3 {\left( {2x - 3} \right)dx} \)
\( = \left( {3x - {x^2}} \right)\left| \begin{array}{l}\frac{3}{2}\\0\end{array} \right. + \left( {{x^2} - 3x} \right)\left| \begin{array}{l}3\\\frac{3}{2}\end{array} \right. = \left[ {\left( {\frac{9}{2} - \frac{9}{4}} \right) - 0} \right] + \left[ {\left( {{3^2} - 3.3} \right) - \left( {\frac{9}{4} - \frac{9}{2}} \right)} \right] = \frac{9}{2}\)
VD2
Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 17 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Giá trị trung bình của hàm số liên tục f(x) trên đoạn [a; b] được định nghĩa là \(\frac{1}{{b - a}}\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \). Giả sử nhiệt độ (tính bằng \(^oC\)) tại thời điểm t giờ trong khoảng thời gian từ 6 giờ sáng đến 12 giờ trưa ở một địa phương vào một ngày nào đó được mô hình hóa bởi hàm số \(T\left( t \right) = 20 + 1,5\left( {t - 6} \right),6 \le t \le 12\). Tìm nhiệt độ trung bình vào ngày đó trong khoảng thời gian từ 6 giờ sáng đến 12 giờ trưa.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về định nghĩa tích phân để tính: Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a; b] thì hiệu số \(F\left( b \right) - F\left( a \right)\) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x), kí hiệu \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \)
Lời giải chi tiết:
Nhiệt độ trung bình vào ngày đó từ khoảng thời gian 6 giờ sáng đến 12 giờ trưa là:
\(\frac{1}{{12 - 6}}\int\limits_6^{12} {\left[ {20 + 1,5\left( {t - 6} \right)} \right]dt} = \frac{1}{6}\int\limits_6^{12} {\left( {11 + 1,5t} \right)dt = \frac{1}{6}\left( {11t + \frac{3}{4}{t^2}} \right)\left| \begin{array}{l}12\\6\end{array} \right.} \)
\( = \frac{1}{6}\left[ {\left( {11.12 + \frac{3}{4}{{.12}^2}} \right) - \left( {11.6 + \frac{3}{4}{{.6}^2}} \right)} \right] = 24,{5^0}C\)
Vậy nhiệt độ trung bình vào ngày đó trong trong khoảng thời gian từ 6 giờ sáng đến 12 giờ trưa là \(24,{5^0}C\).