Giải mục 2 trang 21, 22 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức — Không quảng cáo

HĐ2

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 21 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Cho hàm số $y = f\left( x \right) = \frac{x}{{x - 1}}$ có đồ thị (C). Với $x > 1$, xét điểm M (x; f(x)) thuộc (C). Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng $x = 1$ (H.1.22).

a) Tính khoảng cách MH.

b) Khi M thay đổi trên (C) sao cho khoảng cách MH dần đến 0, có nhận xét gì về tung độ của điểm M?

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về đọc đồ thị hàm số để đưa ra nhận xét.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: $M\left( {x;\frac{x}{{x - 1}}} \right);H\left( {1;\frac{x}{{x - 1}}} \right)$

Do đó, $MH = \sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + {{\left( {\frac{x}{{x - 1}} - \frac{x}{{x - 1}}} \right)}^2}}  = x - 1$ (do $x > 1$)

b) Khi khoảng cách MH dần đến 0 thì tung độ của điểm M dần ra xa vô tận về phía trên (tung độ điểm M tiến ra $+ \infty$).

LT2

Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 22 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Tìm các tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{x - 4}}$.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về khái niệm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số để tìm tiệm cận ngang: Đường thẳng $y = {y_0}$ gọi là đường tiệm cận ngang (gọi tắt là tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) = {y_0}$ hoặc $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right) = {y_0}$.

Sử dụng kiến thức về khái niệm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số để tìm tiệm cận đứng: Đường thẳng $x = {x_0}$ gọi là đường tiệm cận đứng (gọi tắt là tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) =  + \infty$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) =  - \infty$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) =  - \infty$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) =  + \infty$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{2x + 1}}{{x - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{2 + \frac{1}{x}}}{{1 - \frac{4}{x}}} = 2;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{2x + 1}}{{x - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{2 + \frac{1}{x}}}{{1 - \frac{4}{x}}} = 2$ nên tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{x - 4}}$ là $y = 2$.

Lại có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \frac{{2x + 1}}{{x - 4}} =  + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} \frac{{2x + 1}}{{x - 4}} =  - \infty$ nên tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{x - 4}}$ đường thẳng $x = 4$.

VD2

Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 22 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Để loại bỏ p% một loài tảo độc khỏi hồ nước, người ta ước tính chi phí bỏ ra là $C\left( p \right) = \frac{{45p}}{{100 - p}}$ (triệu đồng), với $0 \le p < 100$. Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số C(p) và nêu ý nghĩa của đường tiệm cận này.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về khái niệm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số để tìm tiệm cận đứng: Đường thẳng $x = {x_0}$ gọi là đường tiệm cận đứng (gọi tắt là tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) =  + \infty$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) =  - \infty$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) =  - \infty$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) =  + \infty$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{p \to {{100}^ - }} C\left( p \right) = \mathop {\lim }\limits_{p \to {{100}^ - }} \frac{{45p}}{{100 - p}} =  + \infty$ nên tiệm cận đứng của đồ thị hàm số C(p) là $p = 100$.

Ý nghĩa của đường tiệm cận là: Không thể loại bỏ hết loài tảo độc ra khỏi hồ nước dù chi phí là bao nhiêu.