Giải mục 2 trang 53, 54 SGK Toán 8 tập 1 - Kết nối tri thức
Cho hình thang cân ABCD, AC // CD và AB < CD (H.3.16).
HĐ1
Cho hình thang cân ABCD, AC // CD và AB < CD (H.3.16).
a) Từ A và B kẻ AH ⊥ DC, BI ⊥ DC, H ∈ CD, I ∈ CD. Chứng minh rằng AH = BI bằng cách chứng minh ∆AHI = ∆IBA.
b) Chứng minh ∆AHD = ∆BIC, từ đó suy ra AD = BC
Phương pháp giải:
a) Chứng minh: ∆AHI = ∆IBA (g.c.g).
Suy ra AH = BI (hai cạnh tương ứng).
b) Chứng minh: ∆AHD = ∆BIC (góc - góc).
Suy ra AD = BC (hai cạnh tương ứng).
Lời giải chi tiết:
a) Vì ABCD là hình thang cân (AB // CD) nên ^BAI=^AIH (hai góc so le trong).
Ta có AH ⊥ DC, BI ⊥ DC suy ra AH // BI.
Do đó ^AIB=^HAI (hai góc so le trong).
Xét ∆AHI và ∆IBA có:
^BAI=^AIH (chứng minh trên);
Cạnh AI chung;
^AIB=^HAI (hai góc so le trong).
Do đó ∆AHI = ∆IBA (g.c.g).
Suy ra AH = BI (hai cạnh tương ứng).
b) Vì ABCD là hình thang cân (AC // CD) nên ˆC=ˆD.
Vì ∆AHD và ∆BIC có:
^AHD=^BIC=90o và ˆC=ˆD nên 90o−ˆC=90o−^BIC⇔^DAH=^CBI
Xét ∆AHD và ∆BIC có:
^AHD=^BIC=90o (vì AH ⊥ DC, BI ⊥ DC, H ∈ CD, I ∈ CD);
AH=BI (chứng minh trên
^DAH=^CBI (chứng minh trên).
Do đó ∆AHD = ∆BIC (góc - cạnh - góc).
Suy ra AD = BC (hai cạnh tương ứng).
LT 2
Cho tứ giác ABCD như Hình 3.18. Biết rằng ˆA=ˆB=^D1. Chứng minh rằng AD = BC.
Phương pháp giải:
Chứng minh ABCD là hình thang có ˆA=ˆB
Lời giải chi tiết:
Ta có ˆA=^D1 mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên AB // CD.
Suy ra tứ giác ABCD là hình thang.
Mặt khác hình thang ABCD có ˆA=ˆB nên ABCD là hình thang cân.
Do đó AD = BC (đpcm).
HĐ2
Cho hình thang cân ABCD, kẻ hai đường chéo AC, BD (H.3.19). Hãy chứng minh ∆ACD = ∆BDC. Từ đó suy ra AC = BD
Phương pháp giải:
Chứng minh: ∆ACD = ∆BDC (c.g.c).
Suy ra AC = BD (hai góc tương ứng).
Lời giải chi tiết:
Vì ABCD là hình thang cân (AC // CD) nên AD = BC; ^ADC=^BCD
Xét ∆ACD và ∆BDC có
AD = BC (chứng minh trên);
^ADC=^BCD (chứng minh trên);
Cạnh CD chung.
Do đó ∆ACD = ∆BDC (c.g.c).
Suy ra AC = BD (hai góc tương ứng).
LT 3
Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ một đường thẳng d song song với BC, d cắt cạnh AB tại D và cắt cạnh AC tại E (H.3.20).
a) Tứ giác DECB là hình gì?
b) Chứng minh BE = CD.
Phương pháp giải:
Sử dụng tính chất của hình thang cân.
Lời giải chi tiết:
a) Theo đề bài: d // BC nên DE // BC
Suy ra DECB là hình thang.
Vì tam giác ABC cân tại A nên ˆB=ˆC.
Hình thang DECB có ˆB=ˆC nên tứ giác DECB là hình thang cân.
b) Hình thang cân DECB có BE và CD là hai đường chéo.
Do đó BE = CD (đpcm).