Giải mục 2 trang 38 SGK Toán 8 tập 1 - Kết nối tri thức — Không quảng cáo

HĐ2

Với hai số $a,b$ bất kì, viết $a - b = a + \left( { - b} \right)$ và áp dụng hằng đẳng thức lập phương của một tổng để tính ${a^3} + \left( { - {b^3}} \right)$.

Từ đó rút ra liên hệ giữa ${a^3} - {b^3}$ và $\left( {a - b} \right)\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right)$.

Phương pháp giải:

Sử dụng hằng đẳng thức ${A^3} + {B^3} = \left( {A + B} \right)\left( {A - AB + {B^2}} \right)$

Lời giải chi tiết:

${a^3} + \left( { - {b^3}} \right) = \left[ {a + \left( { - b} \right)} \right]\left[ {{a^2} - a.\left( { - b} \right) + {{\left( { - b} \right)}^2}} \right] = \left( {a - b} \right)\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right)$

Từ đó ta có ${a^3} - {b^3} = \left( {a - b} \right)\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right)$

Luyện tập 2

1. Viết đa thức ${x^3} - 8$ dưới dạng tích.
2. Rút gọn biểu thức $\left( {3x - 2y} \right)\left( {9{x^2} + 6xy + 4{y^2}} \right) + 8{y^3}$

Phương pháp giải:

Sử dụng hằng đẳng thức ${A^3} - {B^3} = \left( {A - B} \right)\left( {A + AB + {B^2}} \right)$

Lời giải chi tiết:

1. ${x^3} - 8 = {x^3} - {2^3} = \left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right)$

$\begin{array}{l}\left( {3x - 2y} \right)\left( {9{x^2} + 6xy + 4{y^2}} \right) + 8{y^3}\\ = \left( {3x - 2y} \right)\left[ {{{\left( {3x} \right)}^2} + 3x.2y + {{\left( {2y} \right)}^2}} \right] + 8{y^3}\\ = {\left( {3x} \right)^3} - {\left( {2y} \right)^3} + 8{y^3}\\ = 27{x^3} - 8{y^3} + 8{y^3}\\ = 27{x^3}\end{array}$

Vận dụng

Giải quyết tình huống mở đầu.

Phương pháp giải:

Sử dụng hằng đẳng thức ${A^3} + {B^3} = \left( {A + B} \right)\left( {{A^2} - AB + {B^2}} \right)$

Lời giải chi tiết:

${x^6} + {y^6} = {\left( {{x^2}} \right)^3} + {\left( {{y^2}} \right)^3} = \left( {{x^2} + {y^2}} \right)\left[ {{{\left( {{x^2}} \right)}^2} - {x^2}.{y^2} + {{\left( {{y^2}} \right)}^2}} \right] = \left( {{x^2} + {y^2}} \right)\left( {{x^4} - {x^2}{y^2} + {y^4}} \right)$