Giải mục 2 trang 6, 7, 8, 9 Chuyên đề học tập Toán 11 - Cánh diều — Không quảng cáo

Hoạt động 2

Cho vectơ $\vec u$ và điểm M trong mặt phẳng. Hãy xác định điểm M' trong mặt phẳng sao cho $\overrightarrow {MM'}  = \vec u$  ( Hình 3 ).

Phương pháp giải:

Quan sát hình 3, xác định điểm M' thỏa mãn $\overrightarrow {MM'}  = \vec u$

Lời giải chi tiết:

Cách xác định điểm M' trong mặt phẳng sao cho: $\overrightarrow {MM'}  = \vec u$

- Qua M kẻ đường thẳng d song song với giá của vectơ  (hoặc trùng với giá của vectơ $\vec u$ nếu điểm M thuộc giá của vectơ $\vec u$).

- Trên đường thẳng d, lấy điểm M' sao cho $MM' = \left( {\vec u} \right)$, và hướng từ M đến M' cùng hướng với vectơ $\vec u$. (Tham khảo Hình 3 )

Luyện tập 1

Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Xác định ảnh của các điểm N, P, C, A, M qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow {OA} .$

Phương pháp giải:

Cho vectơ $\overrightarrow u$, phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow u$ là phép biến hình biến điểm M thành  điểm M’ sao cho $\overrightarrow {MM'}  = \overrightarrow u$.

Lời giải chi tiết:

+ Vì M và N lần lượt là trung điểm của AB và BC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC, suy ra MN // AC và MN =  AC. Do đó, $\overrightarrow {NM}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {CA} \,\,(1)$.Vì O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD của hình bình hành ABCD nên O là trung điểm của AC, do đó $OA = \frac{1}{2}AC$. Suy ra $\overrightarrow {OA}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {CA}$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra $\overrightarrow {NM}  = \overrightarrow {OA} \,\,(3)$

Vậy ảnh của điểm N qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow {OA}$ là điểm M.

+ Vì P và Q lần lượt là trung điểm của CD và DA nên PQ là đường trung bình của tam giác ADC, suy ra PQ // AC và $PQ = \frac{1}{2}AC$. Do đó, $\overrightarrow {PQ}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {CA}$ (4)

Từ (2) và (4) suy ra $\overrightarrow {PQ}  = \overrightarrow {OA}$

Vậy ảnh của điểm P qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow {OA}$ là điểm Q.

+ Vì O là trung điểm của AC nên $\overrightarrow {CO}  = \overrightarrow {OA}$.

Vậy ảnh của điểm C qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow {OA}$ là điểm O.

+ Lấy điểm E đối xứng với điểm O qua điểm A, khi đó A là trung điểm của OE.

Suy ra $\overrightarrow {AE}  = \overrightarrow {OA}$.

Vậy ảnh của điểm A qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow {OA}$ là điểm E.

+ Lấy điểm F đối xứng với điểm N qua điểm M, khi đó M là trung điểm của NF.

Suy ra $\overrightarrow {NM}  = \overrightarrow {MF} \,\,(5)$

Từ (3) và (5) suy ra $\overrightarrow {MF}  = \overrightarrow {OA}$.

Vậy ảnh của điểm M qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow {OA}$

Hoạt động 3

Cho phép tịnh tiến ${T_{\vec u}}$ và hai điểm M, N. Giả sử $M' = {T_{\vec u}}\left( M \right),\,N' = {T_{\vec u}}\left( N \right)$

a) Biểu diễn các vectơ $\overrightarrow {MM'} \,$ và $\overrightarrow {NN'}$ theo $\vec u$.

b) Tìm mối liên hệ giữa hai vectơ $\overrightarrow {M'N'}$ và $\overrightarrow {MN}$.

c) So sánh các đoạn thẳng M'N' và MN.

Phương pháp giải:

+ Cho vectơ $\overrightarrow u$, phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow u$ là phép biến hình biến điểm M thành  điểm M’ sao cho $\overrightarrow {MM'}  = \overrightarrow u$.

+ Dựa vào quy tắc  3 điểm để làm

Lời giải chi tiết:

a) Vì $M' = {T_{\vec u}}\left( M \right)$  nên $\overrightarrow {MM'}  = \vec u$.

Vì $N' = {T_{\vec u}}\left( N \right)$  nên $\overrightarrow {NN'}  = \vec u$.

b) Theo quy tắc ba điểm ta có:

$\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {MM'}  + \overrightarrow {M'N}  = \overrightarrow {MM'}  + \overrightarrow {M'N'}  + \overrightarrow {N'N}  = \vec u + \overrightarrow {M'N'}  + \left( { - \overrightarrow {NN'} } \right) = \vec u + \overrightarrow {M'N'}  + \left( { - \vec u} \right) = \overrightarrow {M'N'}$Vậy $\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {M'N'}$.

c) Vì $\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {M'N'}$  nên MN = M'N'.

Hoạt động 4

Xét phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow {MN}$ ( Hình 5 ).

a) Xác định các điểm A', B', C' lần lượt là ảnh của các điểm thẳng hàng A, B, C qua phép tịnh tiến trên.

b) Nêu mối quan hệ giữa ba điểm A', B', C'.

Phương pháp giải:

Cho vectơ $\overrightarrow u$, phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow u$ là phép biến hình biến điểm M thành  điểm M’ sao cho $\overrightarrow {MM'}  = \overrightarrow u$.

Lời giải chi tiết:

a) Vì A', B', C' lần lượt là ảnh của các điểm A, B, C qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow {MN}$ nên ta xác định các điểm A', B', C' bằng cách lấy các điểm đó thỏa mãn: $\overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow {MN} ,\,\overrightarrow {BB'}  = \overrightarrow {MN} ,\,\overrightarrow {CC'}  = \overrightarrow {MN}$ (như hình vẽ trên).

b) Vì $\overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow {MN} ,\,\overrightarrow {BB'}  = \overrightarrow {MN}$  nên $\overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow {BB'}$, suy ra ABB'A' là hình bình hành.

Do đó, $\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {A'B'} \,\,(1)$

Vì $\overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow {MN} ,\,\overrightarrow {CC'}  = \overrightarrow {MN}$ nên $\overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow {CC'}$, suy ra ACC'A' là hình bình hành.

Do đó, $\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {A'C'} \,\,(2)$

Vì A, B, C là 3 điểm thẳng hàng với B nằm giữa A và C nên $\overrightarrow {AB}  = k\overrightarrow {AC} \,\,(k \ne 0)$  (3).

Từ (1), (2) và (3) suy ra $\overrightarrow {A'B'}  = k\overrightarrow {A'C'}$

Vậy ba điểm A', B', C' thẳng hàng với B' nằm giữa A' và C'.

Luyện tập 2

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có tâm O(0; 0) và bán kính R = 3. Xác định ảnh của đường tròn (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ $\vec u = \left( {3;\,4} \right)$

Phương pháp giải:

Xác định ảnh của tâm O qua phép tịnh tiến bằng cách:

Nếu $M'(x';y')$ là ảnh của $M(x;y)$ qua phép tịnh tiến ${T_{\overrightarrow u }}$ , $\overrightarrow u  = \left( {a;\,b} \right)$ thì biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến là $\left\{ \begin{array}{l}x' = x + a\\y' = y + b\end{array} \right.$

Sau đó xác định ảnh của đường tròn qua phép tịnh tiến.

Lời giải chi tiết:

Ảnh của đường tròn (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ $\vec u = \left( {3;\,4} \right)$ là một đường tròn bán kính bằng 3, gọi là (C').

Gọi O' là tâm của (C'). Ta có O' là ảnh của O qua phép tịnh tiến theo vectơ $\vec u = \left( {3;\,4} \right)$ nên $\overrightarrow {OO'}  = \vec u = \left( {3;\,4} \right)$. Suy ra O'(3; 4).

Vậy ảnh của đường tròn (C) là đường tròn (C') có tâm O'(3; 4), bán kính bằng 3.